$(a_n)_{n \geq 1}=\mathbb{Q}_+$ y$\sqrt[n]{a_n}$ es convergente

Question

¿Hay alguna secuencia$(a_n)_{n \geq 1}$ que contenga todos los números racionales positivos sin repetición, y$\sqrt[n]{a_n}$ sea convergente?

Mi primera suposición es que no existe tal secuencia. Traté de compilar$a_n$ como la secuencia en la prueba de que$\mathbb{Q}$ es contable:$$1,2,1/2,1/3,3,4,3/2,2/3,1/4,1/5,2/4$ $ y así sucesivamente. No estoy seguro de si esto funciona, sin embargo

Answer 1

En realidad, el estándar

ps

trabajos. La observación es que para los miembros$$ (a_n) = \left( \frac 11, \frac 21, \frac 12, \frac 31, \frac 13, \frac 41, \frac 32, \frac 23, \frac 14, \cdots\right) $ en la capa$a_n$ - th:

ps

tenemos

ps

Pero claramente$i$, entonces

ps

Así como $$ \frac i1, \frac{i-1}{2}, \cdots, \frac{2}{i-1}, \frac 1i,$.

Answer 2

Elija una enumeración de$\mathbb{Q}_{+}$,$(q_i)_{i \geq 1}$.

Definiremos$a_n$ como un reordenamiento de$q_i$ de manera que$\frac{1}{2n}<a_n<2n$. Cualquier secuencia de este tipo satisfará$\sqrt[n]{a_n}\rightarrow 1$.

Definir$k_n= \min\{k| q_k \in (\frac{1}{2n},2n), k\notin \bigcup_{i=1}^{n-1}I_i \}$. Podemos verificar que$\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i =\mathbb{N}$, y por construcción$I_i\neq I_j$ cuando$i\neq j$.

Finalmente, la secuencia$a_n=q_{k_n}$ hace el trabajo.

Observación: Si$\sqrt[n]{a_n}$ converge, entonces el límite debe ser$1.$