Si$a\mid b$ y$a\mid c$ demuestra$a\mid a^2 + 3b - 2^{b} c$

Question

Así que tengo este problema para la tarea, así que no estoy buscando una respuesta, solo un poco de ayuda para seguir adelante.

Hasta ahora, he reconocido que

$$ \begin{align*} a\mid b &\Rightarrow b = ak,\\a\mid c &\Rightarrow c = aj,\\a\mid a &\Rightarrow a = ah,\end {align *}$$ where $ k, j, h \ in \ mathbb {Z} $.

A partir de ahí tengo$a + b + c = ak + aj + ah = a(k + j + h) = ai$ donde$i\in\mathbb{Z}$.

Así que he podido probar que$a\mid a + b + c$ pero estoy perdido en cuanto a cómo avanzar para probar la afirmación deseada.

¡Cualquier ayuda o sugerencia es muy apreciada!

Answer 1

Insinuación.

Lo que has hecho con$a+b+c$, puedes hacerlo con$Ka+Lb+Mc$, para cualquier número entero$K$,$L$,$M$, ¿verdad?

Ahora elija$K=a$,$L=\ldots$

Answer 2

Fuerte consejo :

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$(*)$ Dado que$a\mid b$ luego$a\mid 3b$. Y, como$a\mid c$ entonces$a\mid 2^bc$ .

Es trivial que$a\mid a^2$ así que cancelamos eso. $$a\mid\underbrace{a^2 + 3b + 2^bc}_{1} \longrightarrow a\mid \underbrace{3b + 2^bc}_{2}$$ Let $ (2) = ak$, then if we add $ a ^ 2$ to it to equal $ (1)$, we notice that $ (1) = a (k + a)$ and is divisible by $ a$. This is why we cancel out the term $ a ^ 2$, and so we know that the new expression above, namely $ (2) $, es correcto.

Pero también, viendo la declaración$(*)$ resaltada en negrita, podemos sacar una conclusión obvia :)

Answer 3

1) $a|a$. Siempre.

Pf: $a = a*1$.

2) Si $a|b$ $a|kb$ para todos los enteros $k$

Pf: Si $a|b$, entonces existe un número entero $m$, de modo que $b = am$, por lo que $kb = a(mk)$. $j*k$ es un número entero por lo $a|kb$

3) Si $a|b$ $a|c$ $a|b+c$

Pf: $a|b$ significa que existe un número entero $k$, de modo que $b = ak$. $a|c$ significa que existe un entero$m$, de modo que $c = am$, por lo que $b+c = ak + am = a(k+m)$. $(k+m)$ es un número entero por lo $a|b+c$.

Así que... puesto que todos juntos.

a) $a|a$ $a|ka$ todos los $k$$a|a*a=a^2$.

b) $a|b$ $a|kb$ todos los $k$$a|3b$.

c) $a|c$ $a|kc$ todos los $k$$a|-2^b*c$.

d) $a|a^2$$a|3b$$a|a^2 + 3b$.

d') $a|a^2 + 3b$ $a|-2^b*c$ $a|a^2 + 3b - 2^b*c $