Teoría de Rudin 3.44 explicación

Question

Esto es de Rudin PMA, teorema 3.44:

Teorema: Supongamos que el radio de convergencia de $\sum c_n z^n$$1$, y supongamos que $c_0 \geq c_1 \geq c_2 \geq \cdots$, $\lim_{n\to\infty} c_n = 0$. A continuación, $\sum c_n z^n$ converge en todos los puntos en el círculo de $\vert z \vert = 1$, excepto posiblemente en a $z = 1$.

Prueba: Poner $a_n=z^n$, $b_n=c^n.$ La hipótesis del Teorema 3.42 (que es de Dirichlet de la Prueba) a continuación, están satisfechos ya que $$|A_n|=\left|\sum_{m=0}^nz^m\right|=\left|\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}\right|\le\dfrac{2}{|1-z|}$$ if $|z|=1,z\ne1$.

Declaración del teorema 3.42:

Teorema 3.42Suponga

(a) las sumas parciales $A_n$ $\sum a_n$ forma una secuencia delimitada;

(b) $b_0\geqslant b_1\geqslant b_2\geqslant \dots;$

(c) $\lim_{n\to \infty} b_n=0.$

A continuación, $\sum a_nb_n$ converge.

Tengo estas preguntas:

De donde podemos usar el hecho de que el radio de convergencia es $1$? y

Es este intento de corregir: $|1-z^{n+1}|\le2$ porque, $|1-z^{n+1}|\le|1|+|z^{n+1}|=1+|z|^{n+1}=1+1=2$ ?

Answer 1

Si el teorema es exactamente como lo dijiste, entonces no, el hecho de que el radio de convergencia sea$1$ no se usa en la prueba. (Las otras hipótesis implican que el radio de convergencia es al menos$1$, y si es mayor que$1$, entonces la conclusión es obvia).

Answer 2

Bueno, el teorema no tendría sentido, o sería necesario, sin la hipótesis de que el radio es$1$. Si el radio es menor, se le garantiza por definición que la serie diverge cuando$|z| = 1$. Si es mayor que eso, la serie converge (uniformemente) para todos$|z| = 1$. Entonces$r=1$ es el único caso interesante.

Answer 3

Suponga que el radio de convergencia de la energía de la serie de $\sum c_n z^n$ $R$ donde $R$ no es necesariamente igual a $1$.

Sabemos, por definición, de $R$ que el poder de la serie converge siempre que $\vert z \vert <R$, y diverge cuando $\vert z \vert > R$. Queremos investigar la convergencia de esta serie para $\vert z \vert = R$ el uso de Dirichlet de la prueba (teorema 3.42). Por lo tanto, se asume a partir de ahora que $\vert z \vert = R$.

Dirichlet de la prueba es concluyente, sólo si $R \le 1$. Si $R > 1$, las sumas parciales $A_n$ son ilimitados. Para ver esto, observe que

$$\frac{R^{n+1}}{\vert 1 - z \vert} \le \left\vert\frac{ 1 - z^{n+1} }{1-z}\right\vert + \left\vert\frac{ 1 }{1-z}\right\vert = \left\vert A_n \right\vert + \left\vert\frac{ 1 }{1-z}\right\vert .$$

Esto significa que $\left\vert A_n \right\vert$ crece sin límite cuando se $R > 1$. (Esto, por supuesto, no significa que la serie diverge para $\vert z \vert = R > 1$; sólo necesitamos una prueba distinta de Dirichlet para decir nada al respecto.)

Cuenta ahora de que Rudin la prueba se aplica verbatim para $R \le 1$. En particular, todavía tenemos el obligado

$$\left\vert A_n \right\vert \le \frac{2}{\vert 1 - z \vert}$$

al $\vert z \vert = R < 1$. En otras palabras, el supuesto de que $R = 1$ no es de particular importancia; lo que es realmente importante para lo que (en mi opinión) Rudin está tratando de demostrar es que el $R \le 1$.

Por supuesto, si usted ve este teorema sólo como una investigación de la convergencia de la serie de $\vert z \vert = 1$, entonces la suposición de que $R = 1$ es (como se observó en las otras respuestas) no es necesario. Sin embargo, el teorema es trivial cuando $R > 1$, y falso cuando $R < 1$.