El tiempo óptimo de control para el origen de dos de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias - Tratando de tomar el control como hablamos!

Question

Quiero encontrar el momento óptimo de control para el origen del sistema:

$$\dot{x}_1 = 3x_1+ x_2$$ $$\dot{x}_2 = 4x_1 + 3x_2 + u$$ donde $|u|\leq 1$

Corrí directamente en el problema de la resistencia total, lo golpeó con todo lo que he conseguido:

$\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\u \end{pmatrix}$

Por lo que obtener los autovalores de a $(3-\lambda)^2-4=\lambda^2-6\lambda +5=(\lambda-1)(\lambda-5),\lambda=1,5$

Y bam, me golpeó por que... Golpe recto con la cabeza por delante con dos autovalores - mismo signo - ningún componente complejo. Pero ¡oh, no... eso significa Que... No, no podía ser? Es repulsivo, el control va a ser duro.

Estoy corriendo fuera de tiempo, mis amigos, el oxígeno es baja y necesito de la tierra en base a llenarlo, pero los planetas se pulsa con un magenetic campo de polaridad opuesta a la de la nave en el momento de ser positiva(autovalores)! ¿Cómo puedo volver en el tiempo óptimo uso de mi cohetes?

Pregunta: ¿Cómo puedo configurar el control óptimo para que yo pueda tierra antes de que mi oxígeno se agota? No sé a dónde ir desde aquí. Es la información decodificada de la transmisión, titulada "Comprometerse a un nombre" correcto?

La edición en mi actual conocimiento como una respuesta ya que intente de nuevo.

Answer 1

Puedo tener una oportunidad, creo que he terminado el problema lo suficiente.

Así, usted debería ser capaz de llegar a la siguiente;

$$H = -1 + \psi_1(3x_1 + x_2) + \psi_2(4x_1 + 3x_2) + u \psi_2$$

Ahora, como una consecuencia directa de la PMP, básicamente podemos establecer $S = \psi_2$, así que con eso, conseguimos $u^* = sgn(S) = sgn(\psi_2) = \pm 1$. Ahora, lo que esto significa básicamente es que el $u^*$ cambiará dependiendo de si $\psi_2$ es positivo o negativo. Hacemos llegar a trabajar, pero necesitamos asegurarnos de que $\psi_2$ tiene a lo sumo un cero.

Ahora, de nuevo, usted debe ser capaz de trabajar el adecuado autovalores y autovectores, que vendría a ser: $$\lambda_1 = 5, v_1 = \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)$$

$$\lambda_2 = 1, v_2 = \left( \begin{array}{c} 1\\ -2\\ \end{array} \right)$$

Entonces, esto le da una expresión para $x$:

$$x(t) = \alpha_1 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{5} + \alpha_2 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{t} $$

Mediante un proceso similar, usted debe ser capaz de trabajar los adecuados valores propios y vectores para la costate ecuaciones (los autovalores son sólo los aspectos negativos de la $1$$5$, los vectores difieren un poco, pero no demasiado).

Usted debe obtener algo a lo largo de las líneas de;

$$\psi(t) = \beta_1 \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ \end{array} \right)e^{-5t} + \beta_2 \left( \begin{array}{c} -2\\ 1\\ \end{array} \right) e^{-t}$$

Ahora, esto significa que $\psi_2 = \beta_1 e^{-5t} + \beta_2 e^{-t}$, lo que claramente puede tener a lo sumo un cero.

Ahora, usted puede sub $u^* = \pm 1$ en su estado inicial de las ecuaciones, para trabajar fuera de su $P$ $Q$ inicio puntos, respectivamente. Si usted toma $u^* = 1$, usted debe obtener el $C^+$ caminos; $$x(t) = \alpha_1 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{5} + \alpha_2 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{t} +\left( \begin{array}{c} \frac{1}{5}\\ \frac{-3}{5}\\ \end{array} \right) $$

Y con $u^* = -1$, el siguiente $C^-$ caminos;

$$x(t) = \alpha_1 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{5} + \alpha_2 \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)e^{t} +\left( \begin{array}{c} \frac{-1}{5}\\ \frac{3}{5}\\ \end{array} \right) $$

A partir de ahí, debe ser bastante fácil de sacar su solución. Si que te da algunos problemas, voy a estar en el 2:00pm tutorial de mañana, así que usted puede tener una mirada en mi diagrama, si deseas. Soy el chico con el estúpido cabello largo y azul de los auriculares!!

Answer 2

Para maximizar la H como una función de u yo creo que se puede decir simplemente que u(t) = 1 sqn ψ2(t). Su simplemente un caso de cuando se H a ser tan grande como puede ser como usted cambia el valor de u, ya que |u|≤1, H puede tomar los valores máximos en 1 o -1 dependiendo del signo de ψ2.

(lo siento por no comentar en tu respuesta, no tengo lo suficientemente alto representante jaja. Me inscribí porque estoy luchando contra la misma pregunta a mí mismo y pensé que podría ser capaz de ayudar.)