¿Son funciones todavía continua incluso con discontinuidades removibles?

Question

Si definimos una función continua como una función que es continua en todos los puntos de su dominio, entonces sería una discontinuidad removible no afectar a esto?

Por ejemplo, considere la función $f(x) = x$. Es claramente continua en cada punto de su dominio, que es todos los números reales.

Pero ahora vamos a tener $f(x) = x \cdot \frac{x-2}{x-2}$, lo que significa que la función no está definida en $x=2$, pero todavía equivalente a $f(x)=x$ todas partes, así que excluir que el punto de $x=2$ desde el dominio.

El dominio es ahora algo como $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$. Continuidad en un punto, generalmente significa que los límites existen y que la igualdad de la el valor de la función en ese punto. El número de $2$ no está en el dominio de tan sólo tenemos que considerar los números a la izquierda y a la derecha de $2$, y no importa qué número hemos de selección, que serán definidos y tienen límites igualando los valores.

Eso sería aún llamar a una función de este tipo "continuo" a pesar de tener esta $f(2)$ indefinido?

Answer 1

Por supuesto que sí. Lo único que importa para la continuidad son los puntos en que la función está definida. Lo que ocurre fuera del dominio es irrelevante.

Answer 2

Sí. La función es continua, debido a que todavía es continua en cada punto de su (cada vez menor) de dominio $(-\infty,2)\cup(2, \infty)$.

Soy consciente de que hay otros "definiciones" de la continuidad. El artículo de la Wikipedia es confuso en ese sentido, ya que da una serie de definiciones que son equivalentes entre sí, y algunos que no son:

La más común y la restrictiva definición es que una función es continua si es continua en todos los números reales.

Ugh! Vamos, que significa que una función no definida en el conjunto de la $\mathbb R$ no puede ser continua!

Estoy seguro de que hay otras fuentes de información que confunden las aguas más que poner las cosas en claro...

Obviamente, si usted mira en el (continua) la función $f(x)=x, f:\mathbb R\setminus\{2\}\to\mathbb R$ - su gráfica no está conectado, tiene dos componentes, pero que es no lo que nosotros llamamos la discontinuidad. Una discontinuidad sería un punto de $x_0$ tal que $\lim_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$, e incluso comprobar esta condición, usted debe ser capaz de calcular el $f(x_0)$, es decir, la función de $f$ deben ser definidos en $x_0$ (en nuestro caso, $x_0\ne 2$).

Por lo tanto, mi conclusión para el OP es este:

• Tomar la definición universalmente aceptada de la continuidad: la función es continua si es continua en cada punto de su dominio. O de cualquier definición equivalente a la de uno. (Personalmente, me gusta la topológico, donde la función es continua si la preimagen de cualquier subconjunto del codominio es un subconjunto abierto de el dominio).

• Aceptar que la gráfica de una función continua no tiene que ser un conjunto conectado (en, digamos, $\mathbb R^2$) - aunque, obviamente, no va a ser si el dominio de la función se está conectado.

• Aceptar que en las matemáticas de la educación hay otros que no definiciones equivalentes de continuidad flotando alrededor; se combaten con argumentos (incluso si parece como atacar molinos de viento).

Answer 3

Quisiera agregar a las otras respuestas:

De acuerdo en que una función que es continua en el dominio que se define es "continuo". Sin embargo, se va por el título y la generalización de un poco dependiendo de su definición de extraíbles discontinuidades y, a continuación, dependiendo de la función, la función que todavía puede no ser continua. En su pregunta descripción de hablar sobre si f(2) es indefinido, pero que no puede ser el ÚNICO caso donde se han extraíble discontinuidades.

Una definición puede permitir a una función desmontable con discontinuidades a ser definido en el discontinua de puntos. Por ejemplo, f(x) = x para todo x en R excepto x = 2, para los cuales f(x) = 1. Esta función es realmente discontinuo, y los extraíbles de la discontinuidad es verdaderamente una discontinuidad. Esto es similar a cómo se puede usar/hacer que el sentido del término "infinito" discontinuidad", por ejemplo f(x) = 1/x para non-zero x, y f(x) = 0 para x = 0. En este caso, f es una función discontinua.

Por supuesto, los términos que probablemente se originó porque las personas estaban hablando de todo número Real de línea en lugar de los dominios en los que se definan las funciones, y para mejor o para peor (probablemente para mal) la nomenclatura atascado.

Answer 4

Es correcto, pero tenga en cuenta que en algún contexto define una función para ser continua si su dominio es un intervalo, y es continua en cada punto de ese intervalo.

Aquí puedes encontrar una buena fuente de MIT para una clasificación completa continuidad y discontinuidad.