Mostrar estos polinomio anillos no son isomorfos

Question

Quiero mostrar no es isomorfo a $\mathbb{R}[X,Y]/(X^2 + Y^2 -1)$ $\mathbb{R}[T,T^{-1}]$ (donde $X,Y,T$ son variables formales en la más grande $ Anillos polinómicos.

He tratado de comparar las propiedades básicas, por ejemplo, son ambos dominios integral pero parecen estar de acuerdo. ¿Puedo explotar los lo $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrada de alguna manera? Ya he mostrado el resultado es cierto para $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{R}$.

Answer 1

$\mathbb{R}[T, T^{-1}]$ es la localización de una unidad flash usb (un PID, incluso), por lo tanto es un UFD. Sin embargo, $\mathbb{R}[X,Y]/(X^2 + Y^2 - 1)$ no es un UFD: la idea es que el $X^2 = (1-Y)(1+Y)$ da dos diferentes factorizations. Para más detalles, consulte esta respuesta.

La parte interesante es que si trabajamos más de $\mathbb{C}$, dos correspondientes anillos de $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2 + Y^2 - 1)$ $\mathbb{C}[T,T^{-1}]$ sonisomorfos: $$ \mathbb{C}[T,T^{-1}] \cong \mathbb{C}[L,U]/(MA - 1) \cong \mathbb{C}[X,Y]/(X^2 + Y^2 - 1) $$ donde el último isomorfismo envía $T \mapsto X + iY$$U \mapsto X - iY$.

Answer 2

Si $\xi$ $\eta$ son las imágenes de $X$ $Y$ en el cociente del anillo, a continuación,$\xi^2+\eta^2=1$, por lo que debe encontrar dos elementos en $\mathbb{R}[T,T^{-1}]$.

Un elemento distinto de cero en $\mathbb{R}[T,T^{-1}]$ puede ser el único escrito como $T^mf(T)$ donde $m$ es un número entero y $f(T)\in\mathbb{R}[T]$$f(0)\ne0$. Así que supongo $$ (T^mf(T))^2+(T^ng(T))^2=1 $$ Supongamos $m\ge0$$n\ge0$. A continuación, el líder coeficiente del lado izquierdo es positivo, por lo que el grado tiene que ser cero, lo que implica $m=n=0$ $f$ $g$ constante.

Sin embargo, las imágenes de $\xi$ $\eta$ debe generar $\mathbb{R}[T,T^{-1}]$: contradicción.

Supongamos $m<0$ y, sin pérdida de generalidad, $m\le n$. A continuación, obtenemos $$ f(T)^2+T^{2n-2m}g(T)^2=T^{-2m} $$ La evaluación en $0$, obtenemos $f(0)^2=0$ o $f(0)^2+g(0)^2=0$ (de acuerdo a $n\ne m$ o $n=m$): en ambos casos se trata de una contradicción.