¿Por qué es $\sum_{j^2\leq \sqrt x} \mu(j)[\frac x {j^2}]=x\sum_{j^2\leq \sqrt x}\frac {\mu(j)} {j^2}+ O(\sqrt x)$?

Question

Yo estaba estudiando métodos de barrio de libro de Overholt de teoría analítica del número (P No 42). Allí estimar $Q(x)=\sum_{n \leq x}\mu^2(n)$ han utilizado una declaración que

$$\sum{j^2\leq x} \mu(j)\left[\frac x {j^2}\right]=x\sum{j\leq \sqrt x}\frac {\mu(j)} {j^2}+ O(\sqrt x).$$

No estoy recibiendo esta declaración como $[\frac x {j^2}]=\frac x {j^2}-{\frac x {j^2}}$ y ${\frac x {j^2}}\leq 1$. ¿Puedo sacar algo de aquí?

Answer 1

Desde $[x]=x-{x}$, tenemos $[x]=x+O(1)$ y tan $$ \sum{j^2\leq x} \mu (j) \left [\frac x {j ^ 2} \right] = \sum{j^2\leq x} \mu(j) \left(\frac{x}{j^2} + O(1) \right) = \sum{j^2\leq x} \mu(j) \frac{x}{j^2} + O(\sqrt{x}) = x \sum{j \le \sqrt{x}} () \frac{\mu j)} {j ^ 2} + O(\sqrt{x}). $$

Answer 2

Escrito $M(x)=\sum_{n\leq x}\mu(n)$ y, a continuación, la aplicación de Abel suma fórmula nos da que:

$$Q(x)=\sum_{j^2\leq x} \mu(j)\left\lfloor\frac x {j^2}\right\rfloor=\sum_{n\leq \sqrt{x}} \mu(n)\left(\frac{x}{n^2}-\left\{\frac{x}{n^2}\right\}\right)=x\sum_{n\leq \sqrt{x}}\frac{\mu(n)}{n^2}-\sum_{n\leq \sqrt{x}}\mu(n)\left\{\frac{x}{n^2}\right\}\\=\frac{6}{\pi^2}x-\sum_{n\leq \sqrt{x}}\mu(n)\left(-1+\left\{\frac{x}{n^2}\right\}\right)-2x\int_{\sqrt{x}}^{\infty}\frac{M(t)}{t^3}dt$$

Por lo tanto, podemos escribir:

$$Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x-\sum_{n\leq \sqrt{x}}\mu(n)\left\{\frac{x-n^2}{n^2}\right\}-2x\int_{\sqrt{x}}^{\infty}\frac{M(t)}{t^3}dt\\\implies \left|Q(x)-\frac{6}{\pi^2}x\right|\leq \left|\sum_{n\leq \sqrt{x}}\mu(n)\left\{\frac{x-n^2}{n^2}\right\}\right|+2x\left|\int_{\sqrt{x}}^{\infty}\frac{M(t)}{t^3}dt\right|\\\leq \sum_{n\leq\sqrt{x}}\left|\mu(n)\right|+2x\int_{\sqrt{x}}^{\infty}\frac{\left|Q(t)\right|}{t^3}dt\leq Q(x^{1/2})+2x\int_{\sqrt{x}}^{\infty}\frac{1}{t^2}\frac{\left|Q(t)\right|}{t}dt\leq 3x^{1/2}\\\implies \left|\frac{6}{\pi^2}x-Q(x)\right|\leq 3\sqrt{x}\iff \left|\frac{6}{\pi^2}-\frac{Q(x)}{x}\right|\leq \frac{3}{\sqrt{x}}$$

Que finalmente demuestra:

$$Q(x)=\sum_{j^2\leq x} \mu(j)\left\lfloor\frac x {j^2}\right\rfloor=\sum_{n\leq x}\mu(n)^2=\sum_{n\leq x}|\mu(n)|=\sum_{\substack{n\leq x\\ n{\small \text{ is squarefree}}}}1=\frac{6}{\pi^2}x+\mathcal{O}(x^{1/2})$$

Donde intuitivamente esto debe tener sentido desde una perspectiva probabilística debido a que $Q(x)$ es contando el número de cuadrados libre de números naturales $n\leq x$ naturales y la densidad de los números enteros positivos no divisible por el cuadrado de cualquier prime $p$ $\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$ ahora desde un número natural no es divisible por cualquier plaza de la fib no es divisible por el cuadrado de cualquier número primo, vemos que el natural de la densidad de squarefree enteros positivos debería ser aproximadamente el enfoque de $\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}$ el cual se alinea con nuestros límites en la forma asintótica de la densidad de la plaza libre de enteros en el intervalo de $\left[1,x\right]$ como se demostró $Q(x)/x\sim \frac{6}{\pi^2}$. También para referencia en el futuro uno normalmente escribe $\lfloor x\rfloor$ en lugar de $\left[x\right]$ a expresar la función del suelo aplicada a $x$ como la notación $\left[x\right]$ ocasionalmente se utiliza para denotar la función ceiling $\lceil x\rceil$, lo que puede resultar en algunas ambigüedades, si no tienes cuidado.