Puede ser más fácil de aplicar la definición de arcoseno:
$$
x=\sin(\arcsin(x))
$$
La "regla de inversión" asegura que la derivada de la arcoseno existe (con una condición de que voy a tratar más adelante), por lo que puede diferenciar a ambos lados, utilizando la regla de la cadena:
$$
1=\cos(\arcsin(x))\arcsin'(x)
$$
Por lo tanto
$$
\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}
$$
La condición que he mencionado anteriormente es, por supuesto, que $\cos(\arcsin(x))\ne0$.
Ahora sólo tenemos que simplificar $\cos(\arcsin(x))$; utilice el hecho de que $\arcsin(x)\in[-\pi/2,\pi/2]$, por lo que
$$
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}=\sqrt{1-x^2}
$$
Así
$$
\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\qquad x\en(-1,1)
$$