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Derivado de $\arcsin(x)$

Estaba tratando de encontrar el derivado de %#% $ #%

Pensé que podría utilizar la regla de la inversión:

$$\arcsin(x) = \sin^{-1}(x)$$

Por lo tanto debe ser el derivado de $$({f^{-1}})'(x) = \dfrac{1}{f(x)'}$: $\arcsin(x)$ $

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Pero por alguna razón, esto parece funcionar sólo para pequeños $$\dfrac{1}{\cos(x)}$. ¿Un error, ¿dónde?

Saludos, Finn

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dmay Puntos 415

Porque la regla es $$(f^{-1})'(x)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}$$and therefore$% $ $\arcsin'(x)=\frac1{\cos\bigl(\arcsin(x)\bigr)}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$

6voto

con $$sin(y)=x$$ we get $$\cos(y)\frac{dy}{dx}=1$$ so $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}$$ therefore $% $ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

5voto

Focus Puntos 533

De hecho, tenemos

$ (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

desde $(f^{-1}(x))' = \dfrac 1{f'(y)}$

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Bernard Puntos 34415

Puede usar la fórmula correcta de la inversión: % $ $$(f^{-1})'(x)=\frac 1{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.$en otras palabras, si usted establece $y=f^{-1}(x)$, $$(f^{-1})'(x)=\frac 1{f'(\color{red}{y})}.$ $ aquí obtienes $$\arcsin' x=\frac1{\cos(\arcsin x)}=\frac1{\sqrt{1-x^2}},$ $ debido a la identidad de Pitágoras y $-\frac\pi2\le\arcsin x\le \frac\pi2$, por lo que el coseno es $\ge 0$.

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egreg Puntos 64348

Puede ser más fácil de aplicar la definición de arcoseno: $$ x=\sin(\arcsin(x)) $$ La "regla de inversión" asegura que la derivada de la arcoseno existe (con una condición de que voy a tratar más adelante), por lo que puede diferenciar a ambos lados, utilizando la regla de la cadena: $$ 1=\cos(\arcsin(x))\arcsin'(x) $$ Por lo tanto $$ \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))} $$ La condición que he mencionado anteriormente es, por supuesto, que $\cos(\arcsin(x))\ne0$.

Ahora sólo tenemos que simplificar $\cos(\arcsin(x))$; utilice el hecho de que $\arcsin(x)\in[-\pi/2,\pi/2]$, por lo que $$ \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}=\sqrt{1-x^2} $$ Así $$ \arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\qquad x\en(-1,1) $$

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