¿Fórmula para la raíz cuadrada de un número?

Question

¿Existe una fórmula para la raíz cuadrada de un número que solo use sumas, restas, multiplicaciones o divisiones?

Answer 1

No es así. Los números que se pueden formar a partir de números racionales usando una secuencia finita de $+,\times,-$, y $\div$ son números racionales, pero muchas raíces cuadradas de números racionales ($\sqrt{2}$ por ejemplo) son irracionales.

Sin embargo, con un número infinito de pasos es posible. Ver

Answer 2

En los Tiempos Antiguos, cuando estaba en la escuela, aprendimos un algoritmo para extraer la raíz cuadrada similar al algoritmo de división larga. Pero ese tema ya pasó: no hay necesidad de aprender a hacerlo a mano, ya que las computadoras y calculadoras lo hacen bastante bien.

agregado

Aquí está el método.

Ejemplos de Wikipedia:

Answer 3

No, porque la raíz cuadrada no es una función racional.

Answer 4

Con esas operaciones, no. Pero si agregas la raíz cuadrada (lo cual es irónico) ... me gusta esta fórmula, que es una herramienta linda para calcular raíces cuadradas mentales (un poco aproximada pero puede servir para el uso diario).

Llama $N$ al número del cual quieres obtener la raíz y piensa en el número entero más cercano perfecto $s^2$. Entonces siempre puedes escribir

$$N = s^2 \pm q$$

Aquí está la aproximación:

$$\sqrt{N} = \sqrt{s^2 \pm q} \approx s \pm \frac{q}{2s}$$

Ejemplo

Supongamos que queremos encontrar una aproximación de la raíz cuadrada de $87$ (que es $9.3274...$). Entonces el número perfecto más cercano podría ser $81$:

$$\sqrt{87} = \sqrt{81 + 6} \approx 9 + \frac{6}{18} = 9 + \frac{1}{3} = 9.3333333 ...$$

De la misma manera se podría tomar $100$ como el número entero más cercano perfecto:

$$\sqrt{87} = \sqrt{100 - 13} \approx 10 - \frac{13}{20} = 10 - 0.65 = 9.35$$

Answer 5

Existe algo llamado el teorema del punto fijo, que nos ayuda a encontrar una forma de calcular raíces cuadradas a mano. Aunque llevará algo de tiempo, podemos hacerlo.

El teorema del punto fijo dice que si todo va bien, y una secuencia que está definida de forma recursiva a continuación converge:

$$f{(x_n)}=x_{n+1}$$

Entonces su límite $L$ será una solución a:

$$f(L)=L$$

Así que consideremos la ecuación:

$$L^2=y$$

En otras palabras, $L$ es la raíz cuadrada de $y$. Entonces,

$$2L^2-L^2=y$$

$$2L^2=y+L^2$$

$$L=\frac{y+L^2}{2L}$$

Así que ahora está en forma de $L=f(L)$, y ahora podemos usar una secuencia para encontrar $L$.

$$x_{n+1}=\frac{y+{x_n}^2}{2x_n}$$

Y,

$$L=\lim_{n \to \infty}x_n$$

Dado un $x_0$ que permita que la secuencia converge.

Después de la simplificación:

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{y+{x_n}^2}{x_n}\right)$$ $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x_n}+x_n \right)$$

Puede obtener esto, que es el método babilónico, como se mencionó anteriormente. Puede encontrar muchos otros métodos utilizando el teorema del punto fijo, simplemente juegue con el álgebra y complique demasiado la ecuación como hice cuando reemplacé $L^2$ por $2L^2-L^2$.