Puedo influir en mí mismo más que a mis vecinos?

Question

Considerar las relaciones entre las personas se define por un ponderado simétrica grafo no dirigido a $W$, e $w_{ij}$ muestra la cantidad de peso $i$$j$. Suponga que todos los pesos son no negativos y menos de $1$ es decir $$0\leq w_{ij}<1, \forall{i,j}$$ and symmetric $w_{ij}=w_{ji}$. We say $i$ and $j$ are friends if $w_{ij}>0$.

Definir la influencia de la matriz $\Psi=[\text{I}+W]^{-1}$ (a Suponer que está bien definido). Es siempre el caso de que mi influencia en mí es mayor que mi influencia en mis amigos? $$\Psi_{i,i}>\sum_{j\in N(i)}|\Psi_{i,j}|$$

donde $N(i)$ es un conjunto de amigos de $i$.

Answer 1

Suponiendo que $w_{ii}=0$, ésta no es necesariamente cierto que $\Psi_{ii} > 0$ $$\begin{bmatrix}1 & a & b\\ a & 1 & c\\ b & c & 1\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{1-a^2-b^2-c^2+2abc}\begin{bmatrix}1-c^2 & bc-a & ac-b\\ bc-a & 1-b^2 & ab-c\\ ac-b & ab-c & 1-a^2\end{bmatrix}$$ Así que si $1-a^2-b^2-c^2+2abc<0$, $\Psi$ tiene elementos negativos en la diagonal. Por ejemplo, $$\begin{bmatrix}1 & 4/5 & 4/5\\ 4/5 & 1 & 1/5\\ 4/5 & 1/5 & 1\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{8}\begin{bmatrix}-120 & 80 & 80\\ 80 & -45 & -55\\ 80 & -55 & -45\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Mira la inversa de a $$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & .9\\ 0 & 1 & .9\\ 0 & .9 & 1\end{array}\right]$$