Estoy estudiando Kanamori del libro Mayor Infinito y ahora estoy atascado. Quiero demostrar que forzar con los conjuntos de Borel de medida positiva añade una real aleatorio.
Permítanme estado el teorema:
Deje $M$ ser una contables modelo transitivo de ZFC.
$\mathcal{B} = \{A \in Bor(\omega^\omega): \mu(A) > 0\}$ $p \leq q \leftrightarrow p \subset q.$
Deje $G$ $\mathcal{B}^{M}$- genérico más de $M$. Entonces no hay una única $x \in \omega^\omega$ tal que para cualquier cerrada Borel código de $c \in M$,
$$x \in A_{c}^{M[G]} \leftrightarrow A_{c}^{M} \in G$$
y $M[x] = M[G]$.
La prueba de la primera afirma:
"(*)Para cualquier $n \in \omega$,
$$\{C \in \mathcal{B}^{M}: C\text{ is closed }\land \exists k (C \subset \{f \in \omega^\omega: f(n) = k\})\},$$
es denso en $\mathcal{B}^M$."
Mi primera pregunta: ¿por Qué? Es obvio? Creo que tengo al menos una sugerencia!
[...]Algunos comentarios irrelevantes.
"Argumentando en $M[G]$: no hay una única $x \in \omega^\omega$ especificado por
$$\{x\} = \bigcap \{A_{c}^{M[G]}: c \in M \text{ is a closed code }\land A_{c}^{M} \in G\}$$
dado que este es un punto de intersección de conjuntos cerrados con la intersección finita de la propiedad y (*) sostiene"
Puede alguien que me lo explique más detallada?
Gracias!
