Convergencia de probabilidades en la distribución

Question

$Y_1, Y_2,..., Y_n$ son i.i.d y uniformemente distribuidos en el conjunto de ${1, 2,..., n}$. Definir $X_n = \min{k: Y_k = Y_j\; \text {for some}\; j 0$.

Mi trabajo:

$P\left (\frac {X_n} {\sqrt n} \le x\right) = P\left (n\right de \le x\sqrt de X_n) = 1 - P\left (X_n > x\sqrt n\right) $$ $ de $$= 1 - (1 - 1/n)\cdot(1 - 2/n)\cdot...\cdot(1 - \lfloor {x\sqrt n}\rfloor/n)$ $\lfloor\; \rfloor$ Dónde está la función piso

así que básicamente quiero mostrar $1 - (1 - 1/n)\cdot(1 - 2/n)\cdot...\cdot(1 - \lfloor {x\sqrt n}\rfloor/n)$ no converge a $\exp{-(x^2)/2}$ pero tienen idea cómo hacerlo.

Answer 1

Para cada $u\leqslant\frac12$, $\mathrm e^{-u-u^2}\leqslant1-u\leqslant\mathrm e^{-u}$ (se puede demostrar esto?). Por lo tanto, para cada $n\geqslant2k$, $$ \exp\left(-\frac{a_k}{n}-\frac{b_k}{n^2}\right)\leqslant\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}n\right)\leqslant\exp\left(-\frac{a_k}n\right), $$ donde $$ a_k=\sum_{i=1}^ki=\frac{k(k+1)}{2},\qquad b_k=\sum_{i=1}^ki^2\leqslant k^3. $$ Deje $x\gt0$. Si $k=\lfloor x\sqrt{n}\rfloor$, $n\geqslant2k$ por cada $n$ lo suficientemente grande y lo $k\to\infty$ al $n\to\infty$ por lo tanto $a_k\sim\frac12k^2\sim\frac12x^2n$$b_k=o( n^2)$, con lo que los límites inferior y superior del producto, tanto converge a $\mathrm e^{-x^2/2}$.

Esto demuestra (y estoy reescribiendo esta parte de tu post, porque hay un error de imprenta en ella) que $$ P[X_n\gt x\sqrt{n}]\a\mathrm e^{-x^2/2},\qquad P[X_n\leqslant x\sqrt{n}]\1-\mathrm e^{-x^2/2}, $$ por lo tanto $X_n/\sqrt{n}\to X$ en la distribución, donde la densidad de $X$ es la función de $f_X$ definido por $$ f_X(x)=x\mathrm e^{-x^2/2}\mathbf 1_{x\geqslant0}. $$ Alternativamente, $X_n^2/(2n)$ converge en distribución a un nivel exponencial de la variable aleatoria.