Parece haber escapado a la atención que esta suma puede ser evaluado
el uso armónico de la sumación de las técnicas.
Poner $$S(x) = \zeta(3) +
\sum_{n\ge 1} \frac{-1+\coth(n\pi x)}{n^3}$$
e introducir la suma
$$T(x) = \sum_{n\ge 1} \frac{-1+\coth(n\pi x)}{n^3}.$$
La suma plazo es armónico y puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin
transformar. Vamos a construir un funcional de la ecuación de $T(x).$
Recordar que el armónico suma de identidad
$$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) =
\left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$
donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$
En el presente caso tenemos
$$\lambda_k = \frac{1}{k^3}, \quad \mu_k = k
\quad \text{y} \quad
g(x) = 2\frac{e^{-2\pi x}}{1-e^{-2\pi x}}.$$
Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es
$$2 \int_0^\infty \frac{e^{-2\pi x}}{1-e^{-2\pi x}} x^{m-1} dx
\\ = 2 \int_0^\infty \sum_{q\ge 1} e^{-2t\pi x} x^{m-1} dx
= 2 \sum_{q\ge 1} \int_0^\infty e^{-2t\pi x} x^{m-1} dx
\\= 2 \Gamma(s) \sum_{q\ge 1} \frac{1}{(2\pi q)^s}
= \frac{2}{2^s} \frac{1}{\pi^s} \Gamma(s) \zeta(s).$$
De ello se desprende que la Mellin transformar $Q(s)$ de la suma de armónicos
$T(x)$ está dado por
$$Q(s) =
\frac{2}{2^s} \frac{1}{\pi^s} \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s+3)
\quad\text{porque}\quad
\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} =
\sum_{k\ge 1} \frac{1}{k^3} \frac{1}{k^s}
= \zeta(s+3)$$
para $\Re(s) > -2.$
El Mellin de inversión integral aquí es
$$\frac{1}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$
de la cual evaluamos desplazando hacia la izquierda para una ampliación sobre
cero.
Afortunadamente, el trivial de los ceros de los dos zeta función términos cancelar
los polos de la función gamma plazo. Pasando a $\Re(s) = -3 -1/2$
tenemos
$$T(x)
= \frac{\pi^3 x^3}{90}
+ 4\zeta'(-2)\pi^2 x^2
+ \frac{\pi^3 x}{18}
- \zeta(3)
+ \frac{\pi^3}{90x}
+ \frac{1}{2\pi i} \int_{-7/2-i\infty}^{-7/2+i\infty} P(s)/x^s ds.$$
Sustituto $s = -2 - t$ en el resto de la integral para obtener
$$- \frac{1}{2\pi i}
\int_{3/2+i\infty}^{3/2-i\infty}
\frac{2}{2^{-2-t}}
\frac{1}{\pi^{-2-t}} \Gamma(-2-t) \zeta(-2-t) \zeta(1-t)
x^{t+2} dt$$
que es
$$\frac{x^2}{2\pi i}
\int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty}
2^{3+t} \pi^{2+t} \Gamma(-2-t) \zeta(-2-t) \zeta(1-t)
x^t dt.$$
En vista de la deseada funcional de la ecuación ahora usamos el funcional
ecuación de la de Riemann zeta función en $Q(s)$ a demostrar que el
integrando de la última integral es, en realidad, $-Q(t).$
Comience con la ecuación funcional
$$\zeta(1-s) = \frac{2}{2^s\pi^s}
\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s) \zeta(s)$$
y sustituir esto en $Q(s)$ obtener
$$Q(s) =
\frac{2}{2^s} \frac{1}{\pi^s}
\frac{\zeta(1-s) 2^s \pi^s}{2\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)}
\zeta(s+3)
= \frac{\zeta(3+s)}{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)}
\zeta(1-s).$$
Aplicar la ecuación funcional de nuevo (esta vez a $\zeta(s+3)$) para obtener
$$Q(s) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)}
\frac{2}{2^{-2-s} \pi^{-2-s}}
\cos\left(\frac{\pi (-2-s)}{2}\right)
\Gamma(-2-s) \zeta(-2-s) \zeta(1-s)$$
Observar que
$$\frac{\cos\left(-\pi\frac{\pi s}{2}\right)}
{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)}
= - \frac{\cos\left(-\frac{\pi s}{2}\right)}
{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} = -1$$ así que finalmente llegamos
$$Q(s) =
- 2^{3+s} \pi^{2+s} \Gamma(-2-s) \zeta(-2-s) \zeta(1-s),$$
lo que demuestra la demanda.
Hemos establecido la ecuación funcional
$$T(x)
= \frac{\pi^3 x^3}{90}
+ 4\zeta'(-2)\pi^2 x^2
+ \frac{\pi^3 x}{18}
- \zeta(3)
+ \frac{\pi^3}{90x}
- x^2 T(1/x).$$
Finalmente regresar a la suma que era el objetivo inicial vemos que
tiene el valor de $$\zeta(3) + T(x) + x^2 (\zeta(3) + T(1/x))$$
o
$$\zeta(3) + T(x) + x^2 \zeta(3) + x^2 T(1/x).$$
El uso de la funcional de la ecuación de $T(x)$ esto se convierte en
$$\zeta(3) + T(x) + x^2 \zeta(3) +
\frac{\pi^3 x^3}{90}
+ 4\zeta'(-2)\pi^2 x^2
+ \frac{\pi^3 x}{18}
- \zeta(3)
+ \frac{\pi^3}{90x}
- T(x)$$, que es
$$x^2 \zeta(3)
+ \frac{\pi^3 x^3}{90}
+ 4\zeta'(-2)\pi^2 x^2
+ \frac{\pi^3 x}{18}
+ \frac{\pi^3}{90x}.$$
La inspiración para este cálculo es a partir de la ponencia "Mellin Transformar y sus Aplicaciones" por Szpankowski.
Adenda.
En vista del hecho de que $$\zeta(3) + 4\zeta'(-2)\pi^2 =0 $$
(consultar por ejemplo, MathWorld)
este último se convierte en
$$\frac{\pi^3 x^3}{90}
+ \frac{\pi^3 x}{18}
+ \frac{\pi^3}{90x}
= \frac{\pi^3}{90x}
\left(x^4 + 5x^2 + 1\right).$$
Anexo II. Hay otro funcional de la ecuación de una suma de armónicos en este MSE enlace, esta uno un poco más avanzado.
