$x^p -x-c$ es irreducible sobre un campo de característica p si no tiene ninguna raíz en el campo

Question

Que $c$ ser un elemento de un campo $F$ % característico $p$(prime). Entonces cómo demostrar que $x^p -x-c$ es irreducible sobre $F$ si no tiene ninguna raíz en $F$.

Estaba intentando utilizar la contradicción y teniendo en cuenta la división correspondiente del campo, pero no pudo concluir.

Answer 1

Deje $L$ ser la división de campo y $\alpha \in L$ una raíz. Considerar el mapa de $Gal(L/F) \to \mathbb Z/p\mathbb Z$ $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)-\alpha$ (Se debe verificar que esto está bien definido). Desde $\mathbb Z/p\mathbb Z$ no tiene no trivial subgrupos, el mapa es trivial o surjective. Si el mapa es surjective, podemos deducir que el grupo de galois actúa transitivamente sobre las raíces, por lo tanto el polinomio es irreducible. Si el mapa es trivial, podemos deducir $\alpha \in F$, lo cual es una contradicción de la asunción.

Sin la teoría de Galois (pero de alguna manera la misma prueba): Considerar el isomorfismo $\varphi: F[x]\to F[x], x \mapsto x+1$. El polinomio $f = x^p-x-c$ es fijo por $\varphi$, de ahí la irreductible factores son permutados por $\varphi$. Vamos a la irreductible de los factores de $M := \{f_1, \dotsc, f_n \}$. Ya que no hay ninguna raíz en $F$,$n < p$.

$\langle \varphi \rangle \cong \mathbb Z/p\mathbb Z$ actúa en $M$, por lo tanto tenemos un homomorphism $\langle \varphi \rangle \cong \mathbb Z/p\mathbb Z \to S_n$. De $n<p$ podemos deducir que este homomorphism es trivial, por lo tanto la acción es trivial, por lo que todos los irreducibles de los factores son fijos por $\varphi$. Usted debe terminar la prueba demostrando que $\varphi$ no soluciona los polinomios de grado $1, 2 ,\dotsc, p-1$. Por lo tanto el único factor irreducible puede ser $f$ sí.