¿Es posible definir un integral múltiple o sumas múltiples de orden infinito? Algo así como $\int\int\int\int\cdots$ donde hay infinidad de integrales o $\sum\sum\sum\sum\cdots$. ¿Funciones de valoradas infinitas existe (algo así como $R^\infty \rightarrow R^n$)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
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128804
En esta dirección , nos encontramos con este artículo de Zev Chonoles:
EMPEZAR A COTIZAR
Vamos a "$\int$" denotan $\int_0^x$. Queremos encontrar la solución a
$$\int f = f-1.$$
Simplemente "factor" $f$, consiguiendo $1=\left(1-\int\right)f$. Por lo tanto, $f=(1-\int)^{-1}1$.
El uso de la serie geométrica,
$$f=\left(1+\int+\iint+\iiint+\cdots\right)1=1+\int_0^x1~dx+\int_0^x\int_0^x1~dx+\cdots$$
Por lo tanto,
$$f=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=e^x,$$
como era de esperar. (Esto me lo contó Steve Miller)
FIN DE LA CITA
(Pero esto no dice cómo el funcionamiento es realmente definido.)
Tree77
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131
<ol>
<li><p>Se puede hacer aritmética simple con infinitos <em>números</em> (números ordinales o cardenales). Como se derrumba la aritmética básica, también lo hace el análisis funcional. Muy rápido el $\infty+1=\infty$ debe darle pausa, incluso antes de entrar en la definición de integrales.</p></li>
<li><p>Hay teorías matemáticas de números infinitos y sumas infinitas. Mirar los filtros, por ejemplo. Pero tienes que saber lo que usted está tratando de lograr.</p></li>
</ol>
Godot
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1461
Sí, es posible definir múltiples integrales o de las cantidades a infinito de orden:
aquí está mi definición: para cada función de $f$ vamos
$$\int\int\int\cdots \int f:=1$$ y
$$\sum\sum\cdots\sum f:=1.$$
Como puede ver, he definido los objetos.
Pero bueno, entiendo que usted está buscando algunas definiciones de la concesión de algunas propiedades habituales de la integral. Aquí hay otra respuesta:
es posible definir las integrales de funciones entre espacios de Banach. Hay medidas en infinitas dimensiones de los espacios de Banach (por ejemplo medidas de Gauss), así que esto podría ser el concepto que es "significativo" para usted. Por ejemplo, usted puede considerar la posibilidad de una Gaussiana medida en el espacio de funciones continuas $C([0,1])$ inducida por un proceso de Wiener y se puede calcular integrales con respecto a esa medida. Con algunos gimnasia mental que usted puede pensar acerca de esas medidas y las integrales de una manera que le pidieron.
