Convergencia en topología débil implica convergencia en topología de la norma

Question

En el espacio de Hilbert ¿por qué implica convergencia en topología débil $x_n$ $x$ que $x_n$ converge a $x$ en norma?

Muchas gracias por sus respuestas. ¿Qué pasa si pongo una condición sobre la convergencia débil, es decir, supongamos que también tiene $\lim_{n\to \infty } \lVert x_n\rVert \to \lVert x\rVert$ entonces puedo decir que $x_n$ converge en la norma?

Dudo si sostiene siempre!

Creo que para entenderlo que es necesario poco más de explicación porque estoy batallando con la comprensión de las topologías débiles. Gracias

Answer 1

$\def\p#1{\left\langle#1\right\rangle}$ Eso no es cierto. Considerar el $\ell^2$ con el estándar producto interno $$ \p{x,y} = \sum_{i=0}^\infty x_i\bar y_i $ $ y $e_n = (0,\ldots, 0, 1, 0,\ldots)\in \ell^2$ (1 en la posición $n$). Tendremos $x \in \ell^2$ $$ \p{e_n, x} = \bar x_n \to 0 = \p{0, x}$ $ % que $e_n \to 0$débil. $|e_n| = 1 \not \to 0$, Que $e_n \not\to 0$ en norma.

Lo cierto en cada espacio de Hilbert es que $x_n \to x$ débil e implica la $|x_n| \to |x|$ $|x_n - x|\to 0$, $x_n \to x$ en norma. A ver que, escribir\begin{align} |x_n - x|^2 &= |x_n|^2 - 2\Re\p{x_n, x} + |x|^2 \end{align} ahora el primer término converge a $|x|^2$ $2\Re\p{x,x} = 2|x|^2$ por supuesto y el segundo por convergencia débil, tan alltogether $$ |x_n -x|^2 = |x_n|^2 - 2\Re\p{x_n, x}+ |x|^2 \to |x|^2 - 2|x|^2 + |x|^2 = 0 $ $

Answer 2

No es cierto en general, como ya se mencionó, pero es cierto con la condición añadida. Supongamos que $x_n\to x$ débil y que $|x_n|\to|x|$. Entonces $$ |x-x_n|^2=\langle x-x_n, x-x_n\rangle = |x|^2+|x_n|^2-2\text{Re}\,\langle x_n, x\rangle\to\ | x\ | ^ 2 + |x|^2-2\ | x\ | ^ 2 = 0. $$

Answer 3

Esto es falso si el espacio es infinito dimensional. Por ejemplo, que $e_n$ ser una secuencia orthonormal. Entonces $e_n \to 0$ débil, pero no en norma.