¿Colector conectado + agujero = colector conectado?

Question

Si tengo un colector conectado y hago un agujero en el interior del colector, parece evidente que el colector sigue conectado. Pero, ¿cómo se puede demostrar esto?

Más concretamente, dejemos que $M$ sea una zona conectada $n$ -manifiesto con $n>1$ y que $B$ sea un subconjunto de $\operatorname{Int} M$ homeomorfo a la bola cerrada unitaria en $\mathbb{R}^n$ . Es $M \setminus B$ ¿conectado? ¿Puede $B$ sea cualquier conjunto cerrado simplemente conectado?

Answer 1

Creo que el resultado es verdadero si $B$ es cualquier $n$ -submanifiesto dimensional cuya frontera también es conectada. Esto incluye una $n$ - bola. Asumo que los colectores y la incrustación son lineales a trozos (PL), y que estamos hablando de la conectividad del camino en lugar de la conectividad general.

Aquí hay un prueba . Considere un camino $\gamma$ con puntos finales en $M - B$ . La intersección de $\gamma$ con $B$ es una unión disjunta de caminos $\sigma$ cada uno con sus puntos finales en la frontera Bd $B$ . Dado que Bd $B$ está conectado, podemos sustituir cada $\sigma$ con un $\sigma'$ con los mismos puntos finales que se encuentran en su totalidad en Bd $B$ .

Ahora queremos empujar $\sigma'$ ligeramente alejado de $B$ para que no cumpla con $B$ en absoluto. Elija un barrio pequeño y regular $N$ de Bd $B$ . $N$ es un $I$ -sobre Bd $B$ en el que Bd $B$ se incrusta como una sección y cada fibra tiene un extremo dentro $B$ y un extremo en el exterior $B$ . Así que el haz es trivial, y tenemos una incrustación $f: N \times [0, 1] \rightarrow M$ con $f(N \times \{0\})$ en el interior de $B$ , $f(N \times \{1/2\}) =$ Bd $B$ y $f(N \times \{1\})$ en el exterior $B$ . En particular, la proyección obvia $f(N \times [1/2, 1]) \rightarrow f(N \times \{1\})$ es una retracción que empuja $\sigma'$ de $B$ .

Haciendo esto para cada $\sigma$ obtenemos un camino $\gamma'$ que no cumple con $B$ . QED .

En realidad no es necesario para $B$ para ser conectado, siempre y cuando cada uno de sus componentes conectados tenga un límite conectado. Por tanto, se pueden hacer múltiples agujeros en el colector original y seguirá estando conectado. Tampoco es necesario que $B$ para estar simplemente conectado: puede ser un toroide sólido, por ejemplo.

Sin embargo, necesitamos esa condición de límite conectado en $B$ . Por ejemplo, $\mathbb{R} \times [0, 1]$ como un subconjunto de $M = \mathbb{R}^2$ es cerrado y simplemente conectado, y se encuentra en el interior de $M$ porque $M$ no tiene límites, pero al eliminar ese subespacio se divide $\mathbb{R}^2$ en dos componentes conectados.

No sé sobre subconjuntos cerrados en general, pero apostaría que el resultado se mantiene para cualquier subconjunto compacto de PL $B$ .

Answer 2

Tomar gráficos locales alrededor de cada punto de la frontera $\partial B$ . Por la compacidad de $\partial B$ Basta con un número finito de gráficos locales. Entonces, si $\gamma$ era un camino que atravesaba $B$ y conectó dos puntos que no están en $B$ deberíamos ser capaces de modificarlo para $\gamma'$ empujándolo alrededor del límite de $B$ trabajando en estos gráficos locales finitos.