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Identidad de gamma curioso

He encontrado el siguiente curioso de identidad para la función gamma en la Wikipedia por lo que me gustaría saber algunas referencias (prueba, historia, etc).

La identidad es como sigue: Γ(t)=xtn=0L(t)n(x)t+n Aquí L(t)n(x) son generalizada polinomios de Laguerre, y la expresión parece ser válida para Re(t)<12. (Es todo lo que se especifica en la Wiki).

EDIT: ahora Hay dos muy útil la respuesta, pero antes de aceptar uno de ellos, me gustaría ampliar la pregunta un poco más en pedir una representación teórica de la interpretación de la función gamma de identidad.

Muchas gracias de antemano!

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Dennis Puntos 9534

Polinomios generalizados de Laguerre tienen la función de generar $$\sum_{n=0}^{\infty}\xi^n Ln^{(t)}(x)=(1-\xi)^{-t-1}e^{-\frac{\xi x}{1-\xi}}. multiplicando esta identidad por ξt1 y de integración w.r.t. ξ 0 1, se encuentra\begin{align}\sum{n=0}^{\infty}\frac{L_n^{(t)}(x)}{t+n}&=\int_0^1\left(\frac{\xi}{1-\xi}\right)^{t-1} e^{-\frac{\xi x}{1-\xi}}\frac{d\xi}{(1-\xi)^2} =x^{-t}\int_0^{\infty}s^{t-1}e^{-s}ds=x^{-t}\Gamma(t), \end align {} donde el segundo paso se logra por el cambio de variables s=ξx1ξ.

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Eric Towers Puntos 8212

Referencia: Chaudhry, M.A. et al multicelular y forma cerrada de una función gamma incompleta generalizada.

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