$\sum_{n=0}^\infty n/2^{n}$ converge a mostrar?

Question

La serie infinita $$\sum_{n=0}^\infty n/2^{n}$$ converges to $2$. Pero, ¿cómo demostrar que la serie infinita converge a $2$?

Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

Desde $\frac{1}{2}<1$, usted puede intercambiar suma y la diferenciación en una infinita suma (convergencia uniforme). También, reescribir $\frac{n}{2^n}$ $p \frac{d}{dp}(p^n)$ donde $p=\frac{1}{2}$. ¿Se puede manejar desde aquí?

EDITAR por lo tanto, puede reescribir la infinita suma como $$p \frac{d}{dp}\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}$$ Usted obtener un geométrica simple suma que deberá diferenciar y multiplicar por $p$

Answer 2

Express $n/2^n$ suma $$\sum_{n=0}^\infty n/2^{n} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n 2^{-n}$$ cambiar el orden de las sumas $$\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty 2^{-n}$$ recordemos que $\sum_{n=k}^\infty 2^{-n} = 2^{1-k}$, y calcular $$\sum_{k=1}^\infty 2^{1-k} = 2\sum_{k=1}^\infty 2^{-k} = 2$$

Answer 3

Sabemos que para todos los $|x|<2$, $$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{2^n} = \frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$ Entonces, si usted se diferencian con respecto a $x$ tenemos para todos los $|x|<2$ $$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} n\frac{x^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})^2}$$ así que $$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} n\frac{x^{n}}{2^n} = \frac{x}{2(1-\frac{x}{2})^2}$$ y, a continuación, do $x=1$.