A menudo en mis estudios, me voy a venir a través de una definición, lo que yo entiendo, pero no necesariamente ver por qué la definición particular fue elegido para ser estudiado. Por ejemplo, la topológico axiomas (abierto conjuntos, etc) han demostrado históricamente ser útil, y puedo ver la utilidad en mis estudios, pero, ¿qué acerca de estos axiomas hizo tan útil? O por qué, cuando una estructura se define, es siempre el siguiente paso para el estudio de los mapas que conservar esa estructura (espacios vectoriales - funciones lineales, espacios topológicos - homeomorphisms, etc)? ¿Por qué una definición tan torpe como Lp rendimiento tan elegante resultados? Ha demostrado ser muy difícil para mí encontrar una respuesta a estos tipos de preguntas. Hay un área de estudio o un recurso que me iba a dar algunas respuestas a las preguntas de esta naturaleza?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una muy buena pregunta. La respuesta corta es no, no hay un área en particular de metamathematics que los estudios de por qué ciertas definiciones matemáticas son útiles. De hecho, las razones por las definiciones de continuidad y abrir conjuntos y otras definiciones dentro de la topología son útiles es exactamente lo que el campo de la topología.
Si cerca o alrededor de los historiadores de la matemática, puede preguntarles. La comprensión de por qué ciertas definiciones prevaleció está profundamente entrelazado con la historia y las direcciones de las matemáticas en sí.
También debemos señalar que las matemáticas no suelen ir en el orden que se sugieren. Es decir, uno no suele definir primero un open set y continuous map y luego ver qué pasa. Esto es cómo los libros de texto y cursos están organizados, porque es razonable pedagógico para que imita cómo debemos pensar cuando nos encontramos con nuevas ideas. ¿Cómo encajan con lo que sabemos? y Es esta la misma como algo más que yo sé? son preguntas fundamentales que pedimos, y trataré de responder constantemente.
En su lugar, la consideración de las cosas como el open set y continuous maps desarrollado alrededor del mismo tiempo que las cosas como el cálculo fueron formalizados y bien entendida. Sus actuales presentaciones han sido destilada a lo largo de décadas de uso, y ha habido un gran esfuerzo en paralelo de la presentación y comparación. Pero en el momento de su primer desarrollo, que se habría visto muy diferentes. Lo que ahora consideramos como los axiomas de la topología aún no están 100 años de edad (o, tal vez apareció en una forma temprana en 1914 por Hausdorff). Mucho de lo que ahora consideramos como muy abstracta topológico se realizó en el contexto de los mapas entre espacios métricos (donde la idea de la continuidad es mucho más clara y evidente).
La comprensión de cómo las matemáticas se fue de allí a aquí podría ser esclarecedor, pero también habría probablemente ser complicado. Usted puede comprobar fuera de este papel en la historia de la topología, por ejemplo.
De verdad que no. Usted puede tratar de obtener algunas respuestas aquí o en Quora, pero es una batalla cuesta arriba.
Creo que la manera en la mayoría de las personas a lidiar con este tipo de cosas es seguir utilizando las definiciones hasta que se convierten en una segunda naturaleza, en línea con von Neumann famoso "en matemáticas no entender las cosas. Usted acaba de acostumbrarse a ellos." Pero creo que esto es bastante insatisfactorio, y, en particular, creo que es posible entender las cosas y no acaba de acostumbrarse a ellos.
Creo que esto es particularmente insatisfactorio en el caso de espacios topológicos. Entre otras cosas, uno podría haber adivinado que la correcta noción de estructura-la preservación de mapa entre espacios topológicos es una carta abierta, que no lo es, y hay algo que se explica acerca de por qué la definición real de continuo es correcta más allá del hecho de que se generaliza la continuidad de las funciones entre espacios métricos. La respuesta corta es que los espacios topológicos son absurdamente general; por lo general que no axiomatize topología en el sentido de intuición, sino una especie de lógica. La respuesta larga es este libro.
Otra cosa que puedes hacer es buscar la historia - averiguar quién escribió la definición y por qué lo hicieron.
Me gustaría dar un poco de ejemplo en cuanto a la forma de la mayoría, naturalmente, el desarrollo de, por ejemplo, los axiomas de un espacio topológico. Es cierto que esto es más probable que va a ser un idealizado camino históricamente hablando (las ideas son sólo después de que usted haya tenido) pero da una idea de exactamente lo que la topología se generaliza. Este debe ser capaz de, a continuación, se aplican a grupos, etc.
Así que en el comienzo, las personas estudiadas $\mathbb R^2$$\mathbb R^3$. Fueron varias las definiciones y teoremas que salió junto con la geometría y el álgebra de estos espacios, y algunos matemático en algún momento se dio cuenta de que las nociones que hemos discutido normalmente puede ser generalizado a las más altas, menos intuitiva dimensiones. Por lo tanto $\mathbb R^n$ es nacido.
Con la rama de análisis, la gente empieza a ver que una de las más importantes definiciones sobre esto ahora-espacio abstracto es la distancia de la estructura que posee, a saber, la función de $D:\mathbb R^n\to\mathbb R$ definido por $$D(\vec x,\vec y)=\sum_i(x_i-y_i)^2.$$ This distance structure essentially gives rise to much of what analysis is (of course, field structures are also important, but that's an algebraic problem). And so people generalized this even more to define metric spaces, a set with a distance function defined only by three simple properties of $D$ (simetría, la positividad y la desigualdad del triángulo) que hizo precisa la noción generalizada de distancia.
En el estudio de la métrica de los espacios, la gente empieza a recoger una noción fundamental en este estudio más general, así como la noción de continuidad. Se realiza a través de un trivial teorema de que la continuidad puede ser definido exclusivamente en términos de bloques abiertos, y por lo tanto iban a generalizar aún más a la teoría de los bloques abiertos, una vez más, recogiendo tres axiomas fundamentales que rigen su estructura. Y he aquí, allí está la teoría de los espacios topológicos.
