Estoy tratando de responder a la pregunta anterior.. Pero no estoy seguro, ya sea en forma. Traté de demostrarlo dando contador ejemplos.. Pero no siempre.. Entonces yo también traté de dibujar contradicciones, Pero eso no es exitosa. Por favor, dame alguna sugerencia o ideas!
p.s se me olvidó la condición de que $f$$L^1(\Bbb R)$.
El uso de la propiedad $\widehat{f\star g}=\widehat f\widehat g$ $f$ $g$ integrable, obtenemos $(\widehat f)²=\widehat f$, por lo tanto para todos $x$, $\widehat f\in\{0,1\}$. Por el teorema de convergencia dominada, $\widehat f$ es continuo, por lo tanto el $\widehat f=1$ o $\widehat f=0$. Por Riemann-Lebesgue lema, $\widehat f(x)\to 0$$x\to +\infty$, lo $f=0$ en casi todas partes.
Blaber aquí. Desde $f \star f = f$$f$$f \star f$$L^1$, por lo tanto, podemos tomar su transformada de Fourier llegar $$ \hat{f}^2 = \hat{f} $$ La función de $\hat{f}(x)$ es continua, y por la anterior relación $\hat{f}(x)$ sólo puede ser la de cualquiera de las $1$ o $0$ todos los $x$. Por la de Riemann-Lebesgue lema sabemos que $\hat{f}(x) \rightarrow 0$$x \rightarrow 0$. Por lo tanto, $\hat{f}(x) = 0$ para todos los $x$. Por la transformada de Fourier de la inversión se sigue que $f = 0$.e.
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