No transformación lineal de satisfacciones $T(x+y)=T(x)+T(y)$

Question

Dado V un espacio vectorial con vectores y escalares $\mathbb{C}$, no existe una transformación no lineal $T:V\rightarrow V$ tal que $T(x+y)=T(x)+T(y)$ todos los $x,y\in V$?

Creo que esa transformación será "como" aquel que satisface Cauchy funcional de la ecuación de $f(x+y)=f(x)+f(y)$ sin ningún otro tipo de condiciones, pero aparte de eso, no tengo idea.

Answer 1

La función de $T \colon V \to V$ es un homomorphism de abelian grupos o, equivalentemente, $\mathbb{Z}$- módulos. Si usamos el Lema de Zorn nos puede darse cuenta de $V$ libre generado en el módulo $\mathbb{Z}$ con generadores $X$ decir. A continuación, $X$ es incontable. Recogiendo $X$ es como recoger una base de un espacio vectorial complejo. Puede definir cada $T$ tomando cualquier función de $X \to V$ y de la ampliación a la totalidad de $V$ a ser un homomorphism como ampliar cualquier mapa de una base que ser lineal en el mapa. Lamentablemente no creo que hay alguna manera constructiva de búsqueda de $X$, por lo que todo esto demuestra es que hay un montón de mapas de $T$.

Podrían estos ser lineal ? No se como puedes hacer que de no ser. Como $X$ es incontable usted puede elegir $\dim(V) + 1$ distintos generadores de $X$. Estos deben ser linealmente dependientes así organizar $T$ a no ser lineal en ellos y luego se extenderá al resto de $X$ arbitrariamente.

EDIT: comentario Anterior sobre automorfismos de a $\mathbb{C}$ eliminado como en realidad no es relevante.