Problemas Abiertos en Teoría de Semigrupos.

Question

NB: Si esto es una duplicación de alguna manera o es demasiado amplio, lo siento.

¿Cuáles son algunos problemas abiertos en la Teoría de Semigrupos?

Estoy leyendo "Fundamentos de la Teoría de Semigrupos" de Howie y estoy buscando problemas accesibles desde ese punto de vista.

Answer 1

Advertencia. En esta respuesta, excluyo problemas abiertos de la teoría de grupos (con una excepción, pero la pregunta realmente proviene de la teoría de semigrupos). También solo considero semigrupos en álgebra.

Problema de palabras. ¿Es decidable el problema de palabras para semigrupos de un generador?

Probablemente el problema más importante abierto en semigrupos. Consulta [1] para preguntas relacionadas y [2] para una encuesta.
[1] A. J. Cain y V. Maltcev, Victor. Decision problems for finitely presented and one-relation semigroups and monoids. Internat. J. Algebra Comput. 19 (2009), no. 6, 747--770.
[2] Nik Ruskuc, One Relation Semigroups (transparencias, 2009).

Semigrupos finitos

Grandes listas de problemas abiertos sobre semigrupos finitos se pueden encontrar en [1, 2, 3]:
[1] J. Almeida, Finite semigroups and universal algebra, Series in Algebra, 3. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1994. 511 pp. ISBN: 981-02-1895-8 (60 problemas abiertos en el momento de la publicación)
[2] J. Rhodes, B. Steinberg, The $q$-theory of finite semigroups. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2009. xxii+666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0 (74 problemas abiertos en el momento de la publicación)
[3] M. V. Volkov, The Finite Basis Problem for Finite Semigroups, actualización de 2014, originalmente publicado en Sci. Math. Jap. 53, no.1, (2001) 171–199

Muchas preguntas sobre semigrupos finitos tratan de variedades de semigrupos finitos, que son clases de semigrupos finitos cerradas bajo imágenes homomórficas, subsemigrupos y productos finitos, y operaciones definidas en ellos. A continuación, solo enumero algunos de ellos:

(a) Productos semidirectos
Dadas dos variedades de monoides finitos $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$, sea $\mathbf{V} * \mathbf{W}$ la variedad generada por los productos semidirectos de un miembro de $\mathbf{V}$ por un miembro de $\mathbf{W}$. Sea $\mathbf{A}$ la variedad de monoides finitos aperiódicos y sea $\mathbf{G}$ la variedad de grupos finitos. Las siguientes preguntas están abiertas:

1. ¿Es decidable la variedad $\mathbf{A} * \mathbf{G} * \mathbf{A}$?
2. Más generalmente, para cada $n$, ¿es decidable la variedad $(\mathbf{A} * \mathbf{G})^n * \mathbf{A}$? Este es el famoso problema de complejidad decidible de grupos.

(b) Semigrupos de potencia
Sea $\mathcal{P}(S)$ el semigrupo de todos los subconjuntos de un semigrupo $S$.

1. Sean $S$ y $T$ semigrupos finitos. Si $\mathcal{P}(S)$ es isomorfo a $\mathcal{P}(T)$, ¿implica eso que $S$ es isomorfo a $T$?
2. ¿Cuál es la variedad de semigrupos finitos generada por los semigrupos de potencia de grupos finitos resolubles? Mira esta pregunta.
3. ¿Cuál es la variedad de semigrupos finitos generada por los semigrupos de potencia de semigrupos idempotentes (también llamados bandas en la literatura)?
4. Completa la clasificación de variedades de potencia.

(c) Semigrupos profinitos

1. Describe el semigrupo profinito aperiódico libre y el semigrupo profinito finito libre

Semigrupos inversos. Las transparencias de J. Meakin (2012) Semigrupos inversos: algunos problemas abiertos contienen una lista de seis problemas abiertos sobre semigrupos inversos.

Semigrupos regulares. Consulta M.B. Szendrei, Algunos problemas abiertos en la teoría de estructuras de semigrupos regulares. Semigroup Forum 64 (2002), no. 2, 213--223.

Answer 2

Aquí hay uno de Peter J. Cameron:

Dado un grupo finito $G$, sea $\operatorname{End}(G)$ el semigrupo de endomorfismos de $G$, y $\operatorname{PIso}(G)$ el semigrupo de isomorfismos parciales de $G$ (isomorfismos entre subgrupos de $G$).

Si $G$ es abeliano, entonces $|\operatorname{End}(G)| = |\operatorname{PIso}(G)|$. ¿Se cumple el recíproco?