Espacio compacto secuencial no compacto

Question

¿Tienes un ejemplo de un espacio secuencialmente compacto no compacto, sin utilizar el ordinal?

Answer 1

$\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}$ Dejemos que $A$ sea cualquier conjunto de índices incontables, para cada $\alpha\in A$ dejar $D_\alpha=\{0,1\}$ con la topología discreta, y que $$X=\left\{x\in\prod_{\alpha\in A}D_\alpha:|\supp(x)|\le\omega\right\}\;,$$ donde $\supp(x)=\{\alpha\in A:x(\alpha)=1\}$ El soporte de $x$ . (Este es el $\Sigma$ -producto de la $D_\alpha$ 's.)

Para $\alpha\in A$ dejar $B_\alpha=\{x\in X:\alpha\notin\supp(x)\}$ claramente $B_\alpha$ está abierto en $X$ . Desde $A$ es incontable, pero cada $x\in X$ tiene soporte contable, $\{B_\alpha:\alpha\in A\}$ es una cubierta abierta de $X$ pero obviamente no tiene una subcubierta contable. Por lo tanto, $X$ no es Lindelöf.

Ahora dejemos que $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ sea cualquier secuencia en $X$ . Sea $S=\bigcup_{n\in\omega}\supp(x_n)$ ; $S$ es contable, por lo que $K\triangleq\prod_{\alpha\in S}D_\alpha$ es un conjunto de Cantor (o un espacio discreto finito). Sea $\pi:X\to K$ sea el mapa de proyección evidente. La secuencia $\langle \pi(x_n):n\in\omega\rangle$ en el espacio compacto metrizable $K$ tiene una subsecuencia $\langle \pi(x_{n(k)}):k\in\omega\rangle$ convergiendo a algún $p\in K$ . Sea $x$ sea el único punto de $X$ que está de acuerdo con $p$ en $S$ y es $0$ en $A\setminus S$ claramente $\langle x_{n(k)}:k\in\omega\rangle$ converge a $x$ en $X$ . Así, $X$ es secuencialmente compacto.

Answer 2

Esta es una idea que no he completado: Tomar un espacio no localmente compacto, $X$ por ejemplo, los racionales $\mathbb Q$ y tomar su compactación secuencial de un punto descrita en

R. Brown, Sequentially proper maps and a sequential compactación secuencial, J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

y se escribe aquí como $X^+$ que es $X$ con un punto extra $\omega$ . Para la topología en $X^+$ , dejemos que $S(X)$ sea el conjunto de secuencias en $X$ con ninguna subsecuencia convergente. La idea intuitiva es que si $s \in S(X)$ es una secuencia en $X$ sin subsecuencia convergente, entonces $s$ debería converger al punto extra $\omega$ de $X^+$ .

Para la topología en $X^+$ : si $U$ está abierto en $X$ entonces $U$ también está abierto en $X^+$ y $U^+$ la unión de $U$ con $\omega$ está abierto en $X^+$ si y sólo si cada elemento $S(X)$ es finalmente en $U$ . (Pruebe esto con $X$ el espacio de los enteros positivos).

Sin embargo, no tengo tan claro si esto da un espacio no compacto cuando se aplica a $\mathbb Q$ . ¿Algún comentario?