¿Cómo podemos formalmente "identificar" los objetos de uso isomorphisms?

Question

no tengo mucho de fondo en la teoría de conjuntos y la lógica matemática, además de isomorphisms así no acabo de entender(justificar) la forma de "identificar" a los enteros, con productos naturales en el Tao del análisis.

Que es como yo interpreto lo que he leído hasta ahora sobre enteros: construcciones de los números enteros a partir de productos naturales(enteros son elementos de las $N×N$, por lo que no son los mismos objetos que los naturales se definió anteriormente, se usa una notación $(a,b):=a-b$ para ellos). Él define la igualdad $"="$ relación entre los números enteros(basada en la igualdad entre los naturales), y las operaciones de adición y multiplicación de números enteros(de nuevo en términos de números naturales) Después de que tengo un problema con la comprensión de su siguiente párrafo:

Los enteros $n−0$ se comportan de la misma manera como el natural los números de n; de hecho, uno puede comprobar que $(n−0) + (m−0) = (n + m)−0$$(n−0) × (m−0) = nm−0$.

Sé que debería decir algo como esto$:$ si hacemos un mapa de $(n,0)$$n$, luego tenemos una función $f:A⊆N×N↦N$ donde $A$ se compone de los números enteros de la forma $(n,0)$ que tiene propiedades que si $a+b=c$ ($"+"$ y $"="$ son los definidos para los números enteros), entonces $f(a)+f(b)=f(c)$($"+"$ y $"="$ son los definidos por productos naturales) y si $a×b=c$ $f(a)×f(b)=f(c)$(lo mismo con $"×"$$"="$)

Además, $(n−0)$ es igual a $(m−0)$ si y sólo si $n = m$.

Supongo que eso $f$ es de la inyección. Aunque es un surjection demasiado.

(El término matemático para esto es que hay un isomorfismo entre los números naturales $n$, y los enteros de la forma $n−0$). Por lo tanto podemos "identificar" los números naturales con números enteros mediante el establecimiento $n ≡ n−0$;

A partir de aquí empieza: ¿Qué hace exactamente $"≡"$ signo significa? ¿Se vale para mi la función $f$? O es una nueva relación de números enteros como el nuestro ya se definió la relación $"="$ pero él no quiere sobrecargar el signo de $"="$ o algo?

esto no afecta a nuestras definiciones de suma o multiplicación o la igualdad, puesto que son compatibles el uno con el otro. Por lo tanto para ejemplo, el número natural $3$ se considera ahora a ser el mismo como el entero $3−0: 3 = 3−0$.

Hey ahora me pregunto ¿qué $"="$ medios de la muestra, porque tenemos $"="$ por productos naturales, $"="$ para los números enteros, pero no tenemos $"="$ para los enteros naturales(hizo lo definen implícitamente?)(es el mismo signo de $"≡"$?)

En particular, $0$ es igual a $0−0$ y 1 es igual a $1−0$. Por supuesto, si fijamos $n$ igual a $n−0$, luego también será igual a cualquier otro número entero que es igual a $n−0$, por ejemplo, $3$ es igual, no sólo a $3−0$, pero también a $4−1$, $5−2$, etc.

Ahora podemos definir el aumento en los números enteros mediante la definición de $x++ := x + 1$ para cualquier entero $x$; esto es consistente con nuestra definición de la operación de incremento para los números naturales.

¿Cómo funciona esta operación? Parece que tiene un solo argumento de $N×N$ pero, a continuación, el cálculo de una salida se utiliza $1$ $N$ operación $"+"$ tiene un argumento de $N×N$ y el otro de N y de cómo reaccione a este?!

Así que, básicamente, todas mis preguntas son acerca de lo que podemos hacer con isomorpisms y por eso podemos hacer.

Answer 1

Muchas preguntas aquí. Voy a sugerir una respuesta a la última

Así que, básicamente, todas mis preguntas son acerca de lo que podemos hacer con isomorphisms y por eso podemos hacer.

en la esperanza de que ayuda con el resto.

Lo que el Tao está haciendo es mostrar cómo construir formalmente lo que intuitivamente entendemos como los enteros $\{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}$ suponiendo que conocer todo lo necesario acerca de los números naturales $\{0, 1, 2, \ldots \}$,

Desde que él quiere escribir con el conjunto formal de la teoría de vocabulario, la desintegración de la notación puede ser un reto.

La idea que él quiere captar es que una "falta" número negativo como $-5$ puede ser definido por la expresión "$2-7$" a pesar de que esa expresión no tiene ningún significado en los números naturales. Pero hay que tener cuidado, porque "$2-7$" y "$96-99$" y "$0-5$" todos captar la esencia de los desaparecidos $-5$. Por eso dice que sólo cuando dos de esas expresiones (cada construido a partir de un par de números naturales) deben contar como el mismo entero, mediante el ordinario propiedades aritméticas de los números naturales. El $\equiv$ señal entre dos de tales expresiones, dice el declara que "el mismo entero". En términos formales, $\equiv$ es una relación de equivalencia y Tao se define el entero representado por cualquiera de estos pares como la clase de equivalencia - el conjunto de todos los pares. Se trata de cómo se podría definir los números racionales una vez que conoces los enteros pares de enteros, donde $(1,2)$, $(2,4)$ y $(75, 150)$ todos representan la misma racional, la mitad. (Tau bien puede hacer a continuación.)

Después de haber hecho esto y comprueba toda la aritmética de los hechos acerca de estas cosas nuevas llamado "enteros" usando sólo las propiedades de los números naturales. él quiere alejarse de la estructura formal. A tal fin, se muestra que hay una copia fiel de los números naturales en el interior de la "enteros" él construye. Esa es la esencia de la función $f$.

Una vez hecho esto se puede olvidar que el $5$ (formalmente) el conjunto de todos los pares que son equivalentes ( $\equiv$ ) $(5,0)$ y $-5$ (formalmente) el conjunto de todos los pares que son equivalentes ( $\equiv$ )$(0,-5)$. A continuación, puede ir sobre el negocio como de costumbre con $\{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}$.

Editar:

En un comentario que preguntarse si esta es una "sobrecarga" de los números naturales. Ese es un término formal de la ciencia de computación, que describe una situación en la que (por ejemplo) el significado de un operador símbolo como "$+$" depende del contexto. Que el operador está sobrecargado aquí, ya que se emplea tanto para la adición de números naturales y para la adición de los números enteros definidos como conjuntos de pares de números naturales. No estoy seguro de si le dicen que los números naturales son de por sí sobrecargado. Es más bien la opuesta: dos representaciones diferentes de la misma cosa. El $5$ e las $0$ en el entero representado por $(5,0)$ son números naturales. Cuando usted identificar la par con $5$ el símbolo "5" significa tanto $5$ y la clase de equivalencia de a $(5,0)$. Desde la incrustación $f$ es inyectiva no meterse en problemas reutilizar el nombre. Que has hecho este tipo de cosas antes. Cuando se trabaja con polinomios sin pensar que el uso natural de la incrustación de los enteros en el anillo de polinomios. "5" puede significar la constante polinomio $5$ o el coeficiente del polinomio $5x$.

Answer 2

La comprensión básica es correcta. En su párrafo en el primer cuadro de color que necesitamos $f$ a ser un bijection. Afirma que en el segundo cuadro de color con el si y sólo si. El signo $\equiv$ es leer "equivalente". Una vez que han demostrado que $f$ es un isomorfismo podemos considerar las dos cosas relacionadas por $f$ ya que el mismo, para cualquier propósito que tiene en mente. La construcción de los números enteros como los pares ordenados de los naturales es formalmente agradable, pero en representación de los números enteros como clases de equivalencia de los naturales es muy torpe. Nos gustaría volver a la notación que se utiliza para con los enteros positivos y el cero usando los mismos símbolos como los naturales y los enteros negativos, el uso de los productos naturales con un signo de menos el prefijo. La equivalencia, muestra que entero como un par ordenado, que corresponde a la natural. En la parte que cita, él nunca se señala que los enteros como los pares ordenados son realmente clases de equivalencia de pares ordenados, aunque se supone que cuando habla acerca de la $3-0$ ser igual a $4-1, 5-2, $etc. Estoy seguro de que el punto es hecho en el artículo. Yo no estoy loco acerca de la escritura de $3=3-0$ como lo hace él porque (como usted dice) esta es la afirmación de la igualdad entre los dos tipos de objetos. Lo que ha hecho es dar los nombres tradicionales para los enteros como números único que puede estar precedida por un signo menos en lugar de las clases de equivalencia de pares ordenados. Él afirma que la formal incrementar el operador trabaja en los enteros, tal como era de esperar. El punto básico es que una vez que usted tiene un isomorfismo puedes pensar que es como tener dos descripciones diferentes de un mismo objeto. Usted tiene la define formalmente enteros como clases de equivalencia y usted tiene la informalmente definido enteros como los naturales además de los negativos. Él está mostrando que la informalmente los definidos con las reglas que se utilizan para trabajar el mismo que el definido formalmente, se dice que es mucho más fácil escribir el informal se define, de manera que la utilizaremos la notación en el futuro.