Existen única $f \in C([0, 1])$ tal que $f(x) = \int_0^x K(x, y)\,f(y)\,dy + g(x)?$

Question

Que $K \in C([0, 1] \times [0, 1])$ y $g \in C([0, 1])$. Existe un único $f \in C([0, 1])$ tal que, para todos los $x \in [0, 1]$, tenemos %#% $ #%

Answer 1

$$f(x)=\int_0^x K(x,y)f(y)\,dy+g(x)$ $ Tomando derivados de ambos lados con respecto a los $x$ obtenemos

$$f'(x)=K(x,x)f(x)+g'(x)$$ $$f'(x)-K(x,x)f(x)=g'(x)$$

Que $\mu(x)=\exp(\int -K(x,x)\,dx)$ y multiplique ambos lados por % $ $$\mu(x)f'(x)-K(x,x)\mu(x)f(x)=\mu(x)g'(x)$

Observe que $-K(x,x)\mu(x)=\mu'(x)$ así: $$\mu(x)f'(x)+\mu'(x)f(x)=\mu(x)g'(x)$ $ $$\frac{d}{dx}(\mu(x)f(x))=\mu(x)g'(x)$ $ $$\mu(x)f(x)=\int_0^x \mu(y)g'(y)\,dy+C$ $ $$f(x)=\frac{\int_0^x \mu(y)g'(y)\,dy+C}{\mu(x)}$ $

Entonces nos encontramos con $C$ de la relación:

$$f(0)=\int_0^0K(x,y)f(y)\,dy+g(0)=g(0)$$

Así $f$ debe ser único.