¿por qué la multiplicidad geométrica está limitada por la multiplicidad algebraica?

Question

La multiplicidad algebraica de $\lambda_{i}$ es el grado de la raíz $\lambda_i$ en el polinomio $det(A-\lambda)$ . La multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio de valores propios $\lambda_i$ .

Por ejemplo: $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ tiene la raíz 1 con multiplicidad algebraica 2, pero la multiplicidad geométrica 1.

Mi pregunta es: ¿por qué la multiplicidad geométrica está siempre limitada por la multiplicidad algebraica?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que la multiplicidad geométrica del valor propio $\lambda$ de $A$ es $k$ . Entonces tenemos $k$ vectores linealmente independientes $v_1,\ldots,v_k$ tal que $Av_i=\lambda v_i$ . Si cambiamos nuestra base para que la primera $k$ los elementos de la base son $v_1,\ldots,v_k$ entonces con respecto a esta base tenemos $$A=\begin{pmatrix} \lambda I_k & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$$ donde $I_k$ es el $k\times k$ matriz de identidad. Como el polinomio característico es independiente de la elección de la base, tenemos $$\mathrm{char}_A(x)=\mathrm{char}_{\lambda I_k}(x)\mathrm{char}_{C}(x)=(x-\lambda)^k\mathrm{char}_{C}(x)$$ por lo que la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es al menos $k$ .

Answer 2

Daré más detalles a otras respuestas.

Para un $\lambda_i$ la idea es transformar la matriz $A$ (n por n) a la matriz $B$ que comparte los mismos valores propios que $A$ . Si $P_1=[v_1, \cdots, v_m]$ son vectores propios de $\lambda_i$ lo ampliamos a la base $P=[P_1, P_2]=[v_1, \cdots, v_m, \cdots, v_n]$ . Por lo tanto, $AP=[\lambda_i P_1, AP_2]$ . Con el fin de hacer $P^{-1}AP=B$ Debemos tener $AP=PB$ . Dejemos que $B= \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}$ entonces $P_1B_{11}+P_2B_{21}=\lambda_i P_1$ y $P_1B_{12}+P_2B_{22}=AP_2$ . Porque $P$ es una base, $B_{11}=\lambda_iI$ (m por m), $B_{21}=\mathbf{0}$ ( $(n-m)\times m$ ). Por lo tanto, tenemos $B=\begin{bmatrix} \lambda_iI & B_{12}\\ \mathbf{0} & B_{22} \end{bmatrix}$ .

$\det(A-\lambda I)=\det(P^{-1}(A-\lambda I)P)=\det(P^{-1}AP-\lambda I)=det(B-\lambda I)$ $ = \det \Bigg(\begin{bmatrix} (\lambda_i-\lambda)I & B_{12}\\ \mathbf{0} & B_{22}-\lambda I \end{bmatrix} \Bigg)=(\lambda_i-\lambda)^{m}\det(B_{22}-\lambda I)$ .

Obviamente, $m$ no es mayor que la multiplicidad algebraica de $\lambda_i$ .

Answer 3

Otra forma de pensar en esto, si es tu bolsa y quieres ceñirte a lo algebraicamente cerrado, es que la multiplicidad algebraica de un valor propio $\lambda$ para una matriz $A$ es el número total de veces $\lambda$ aparece en la matriz de Jordan $J$ asociado a $A$ y la multiplicidad geométrica es el número total de bloques de Jordan en $J$ asociado a $\lambda$ . Más visualmente, supongamos que

$$A\sim J=\begin{pmatrix}J_{n_1}(\lambda) & & & & &\\ & J_{n_{2}}(\lambda) & & & & \\ & & \ddots & &\\\ & & & J_{n_{m}}(\lambda) & & & \\ & & & & \text{other Jordan blocks with different eigenvalue}\\ & & & & & & \end{pmatrix}$$

entonces la multiplicidad geométrica de $\lambda$ es $m$ y la multiplicidad algebraica es $n_1+\cdots+n_m$ .

Aunque esta respuesta es definitivamente más sofisticada (tal vez demasiado) que las otras respuestas, es útil (en el caso de campos algebraicamente cerrados) pensar siempre en términos de la matriz de Jordan: es la respuesta a todos tus problemas. Por ejemplo, la multiplicidad de $\lambda$ en el polinomio mínimo para $A$ es sólo $\max\{n_i\}$ .

Answer 4

Supongamos que $\lambda$ tiene multiplicidad algebraica $k$ . Puede encontrar una base $(a_1,\dots,a_k)$ de $\operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)$ . Complételo para obtener una base de $\Bbb R^n$ . Ahora con un cambio de base (que conserva los valores propios y sus dos multiplicidades), se puede obtener una matriz de la forma $B=\begin{pmatrix}\lambda I_k&C\\0&D\end{pmatrix}$ . Y se obtiene el resultado ya que $\det (B-t I_n)=\det (\lambda I_k-tI_k)\det(D-tI_{n-k})=(\lambda - t)^k\det(D-tI_{n-k})$