Cómo obtener la siguiente integral definida?

Question

No tengo idea de cómo obtener la respuesta al siguiente problema:

$$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{8-x^2-x^3}}$$

La respuesta ha sido dada como $$\sin^{-1} \frac{1}{2\sqrt{2}}< I < \frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1} \frac{1}{2}$$

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Considerar $$\frac{1}{\sqrt{8-x^2}}\leq\frac{1}{\sqrt{8-x^2-x^3}}\leq \frac{1}{\sqrt{8-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$$

Answer 2

$I$ es una integral elíptica, precisa de aproximaciones que se puede deducir de la convexidad. Más de $(0,1)$ claramente tenemos $8-x^2-x^3 > 8-2x^2$, por lo tanto $$ I < \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{8-2x^2}} = \frac{\pi}{6\sqrt{2}} \tag{Ub}$$ pero también tenemos $\frac{1}{\sqrt{8-x^2-x^3}}>\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+\frac{x^2+x^3}{16}\right)$, por lo tanto $$ I > \int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+\frac{x^2+x^3}{16}\right)\,dx = \frac{199}{384\sqrt{2}}\tag{Lb}$$ y combinando el límite superior y el límite inferior $$ 0.3664 < I < 0.3703. \tag{B} $$ $(\text{Lb})$ puede ser mejorada a través de la desigualdad de Jensen: $$ I > \frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{1-\int_{0}^{1}\frac{x^2+x^3}{8}\,dx}}=\sqrt{\frac{12}{89}}>0.36719 $$ y $(\text{Ub})$ puede ser mejorada a través de la de Cauchy-Schwarz desigualdad: $$ I < \sqrt{\int_{0}^{1}\frac{dx}{8-x^2-x^3}}<0.36841 $$ tal que $I=\color{green}{0.36}77\pm 0.0008$.