Deje $X_n$ ser un conjunto con $n$ elementos. Escribir $F(X_n,X_n)$ para el conjunto de mapas de $X_n$ a sí mismo. Le damos la operación de composición. Tengo curiosidad de saber si hay una buena fórmula para la siguiente pregunta. Deje $m$ ser un entero positivo. Cómo muchos de los mapas en $F(X_n,X_n)$ $m$th poderes de otros mapas? En otras palabras, ¿qué tan grande es la imagen de la función que toma cada mapa a su $m$th poder? Esto es sólo para la diversión. Gracias!
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Como he mencionado en los comentarios, lo que denotan $F(X_n,X_n)$ es conocida como la transformación completa semigroup en $X_n$, a menudo denotado por $\mathcal{T}_{X_n}$, o, simplemente,$\mathcal{T}_n$.
Una referencia que he encontrado es de los Bigramas y la semigroup de todas las funciones en un conjunto finito, por Pedro M. Higgins, Glasgow J. Math. 30 (1988), pp 41 al 57; disponible aquí. No considera, entre otras cosas, el problema de encontrar todas las soluciones a $x^m = c$ en la completa transformación semigroup.
Tener el nombre estándar para el objeto que usted está buscando puede facilitar encontrar referencias.
Adenda. Otra referencia que maneja el caso de $m=2$, y proporciona una caracterización de exactamente cuando un elemento de la transformación completa semigroup es un cuadrado; esta es una 1982 papel de Howie y Snowden, raíces Cuadradas en lo finito transformación completa semigroups, Glasgow J. Math. 23 (1982), 137-149 (disponible aquí). Como los autores señalan, la caracterización es "muy complicado", y no sé cómo susceptible es a tratar de contar el número de cuadrados en $\mathcal{T}_n$. Parece que este es en realidad bastante difícil problema, aunque, por supuesto, un montón de progresss se han hecho en los últimos 20-30 años.
user11323
Puntos
193
Steven,
He escrito un pequeño programa para usted. Aquí hay algunos datos de la muestra (ojalá, pero no se garantiza el correcto) a guiarte en tu camino:
N=1: es de suponer que no necesito escribir esto
N=2: 4, 3, 4, 3, 4, 3, ... (esto es para m=1,2,3, ... --- esta fácil ver por mano de curso)
N=3: 27, 12, 19, 12, 21, 10, 21, 12, 19, 12, 21, 10, ...
N=4: 256, 100, 116, 73, 148, 44, 148, 73, 116, 76, 148, 41, 148, 76, 116, 73, 148, 44, 148, 73, 116, 76, ...
N=5: 3125, 1075, 985, 580, 1281, 296, 1305, 580, 925, 631, 1305, 220, 1305, 655, 901, 580, ...
N=6: 46656, 13356, 11026, 5721, 12942, 3136, 13806, 5601, 9286, 5952, 13806, 1921, 13806, 6816, ...
Me pueden enviar el código si te gusta, a pesar de que podría no ser correcta y ciertamente no es muy eficiente. Basado en el $N \le 4$ de los casos, parece que después de cierto punto, estas secuencias son periódicas en m de período N!, que puede ser fácil de ver en forma algebraica (es cuando N=2), pero realmente no he pensado en ello.
