Pregunta de cálculo: $\int_0^1\frac{(x-x^2)^4}{1+x^2}dx$

Question

No tengo ni idea de cómo encontrar esta integral:

$$\int_0^1\frac{(x-x^2)^4}{1+x^2}\ dx\ ?$$

Agradecería cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

CONSEJO : $$ \begin{align} \int_0^1\frac{(x-x^2)^4}{1+x^2}\ dx&=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\ dx\tag1\\ &=\int_0^1\left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac4{1+x^2}\right)\ dx.\tag2\\ \end{align} $$ Véase teorema del binomio para $(1)$ y división larga polinómica para $(2)$ . También $$ \begin{align} \int_0^1\frac1{1+x^2}\ dx=\frac\pi4 \end{align} $$ dejando $x=\tan\theta$ . La respuesta es $\ \color{blue}{\dfrac{22}7-\pi}$ .