He estado una vez dijo que Schanuel de la conjetura (que es una declaración acerca de la trascendencia de tuplas de números complejos y sus exponenciales) se establece en teoría absoluta, lo que significa que su verdad (o falsedad) es independiente del establecido en el modelo teórico (o supuestos), porque es una $\Pi^1_2$ declaración. Es esto correcto?
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DanteAlighieri
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Usted necesita ser un poco cuidadoso en la forma como el estado. Recuerde que Con(ZF) es una $\Pi_1^0$ declaración, y que es independiente de ZF.
Creo que lo que estás buscando es Shoenfield absolutismo. Esto implica que $\Pi_2^1$ declaraciones son independientes de ciertos axiomas que se pueden agregar a ZF. Entre estos axiomas son el axioma de elección y la generalización en el continuum de la hipótesis. Por lo tanto, si usted tiene una prueba de Schanuel la conjetura de que supone la elección y la CH, a continuación, debe haber una prueba utilizando sólo los axiomas de ZF.
Es también el caso de que si un $\Pi_2^1$ declaración de retenciones, entonces también se cumple en cualquier modelos transitivos de ZF.
Esta es una muy descuidado referencia a la Shoenfield teorema de completitud.
Este teorema dice que dado un aritmética declaración sobre los números naturales que no es "demasiado complicado" (de primer orden de declaraciones no son demasiado complicados, pero no sólo ellos), entonces la afirmación es verdadera en todos los dos modelos transitivos de $\sf ZFC$ que tienen el mismo ordinales.
Esto no quiere decir que el valor de verdad es independiente de $\sf ZFC$. Sólo significa que no podemos demostrar la independencia el uso de los dos "habitual" de las herramientas de la teoría de conjuntos:
- Forzando, que no modifica los ordinales de un modelo, ni destruir su transitividad; y
- Interior de los modelos, que por definición son una subclase de la modelo que es transitiva y contiene todos los ordinales.
Hay otras maneras de demostrar la independencia, por ejemplo, la compacidad de los argumentos de algún tipo. Pero cosas como la compacidad generalmente destruir agradable propiedades de los modelos de $\sf ZFC$, y el teorema de completitud ya no se aplica. Por otro lado, estamos menos interesados en no-niza modelos de $\sf ZFC$ en general, lo cual es la razón por establecer teóricos se centran en los dos métodos anteriores, en lugar de otros métodos.
Así que la conclusión es que si se puede forzar el valor de verdad de la conjetura de Schanuel, entonces realmente nos lo demostró.
