Corriente a través de cada resistencia

Question

Estoy resolviendo este problema de nivel de bachillerato, en el que tengo que encontrar la corriente que pasa por cada resistencia.

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

No hay resistencias en paralelo o en serie que puedan combinarse, así que he intentado utilizar la ley de Kirchoff para las uniones y los bucles. El sistema de ecuaciones lineales resultante no tiene solución según Mathematica. \$I_0\$ es la corriente que pasa por la fuente, \$I_{15}\$ es una corriente auxiliar a través del cable vacío en el centro del circuito. Mi sistema de ecuaciones lineales resultante:

Mis preguntas son:

• ¿Es correcto mi enfoque de este problema? Tal vez he elegido bucles equivocados. ¿Existe alguna regla sobre los bucles que debo elegir?
• Hay 16 corrientes desconocidas, tengo 10 ecuaciones de unión. ¿Significa esto significa que tengo que crear al menos 6 bucles, para encontrar todas las incógnitas?
• Si mi planteamiento es erróneo, ¿cuál es el primer paso o la dirección que debo seguir para resolver este problema?

EDIT: Hay algunos errores en las ecuaciones:

• La ecuación 3 es \$I_3=I_5+I_7\$
• Las ecuaciones 15 y 16 no incluyen \$I_{15}\$ (no hay cambio de tensión en el cable sin ninguna resistencia)
• Con estos cambios, el sistema puede resolverse satisfaciendo \$\mathbf{A}^\intercal \mathbf{A}\vec{x}=\mathbf{A}^\intercal\vec{b}\$ . Sin embargo, la respuesta aceptada muestra un enfoque mucho mejor de este problema (los resultados son los mismos).

Answer 1

Ampliar La respuesta de Olin para aquellos que quieran ver la diferencia que hace el arte.

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Una vez que lo ves así es bastante fácil saber, o debería serlo, a qué voltaje están esos nodos del centro. Después de eso es una simple ley de Ohm.

También deberías poder ver que los nodos que marqué como \$VT\$ tienen el mismo voltaje, al igual que los que marqué con \$VB\$ .

Como no hay tensión a través de \$R6\$ y \$R9\$ ,

\$I6 = I9 = 0A\$ .

Por eso, \$R6\$ y \$R9\$ pueden ser considerados como cortos, por lo que \$R4\$ está efectivamente en paralelo con \$R2\$ ( \$R24 = 50R\$ ). Lo que significa que \$VT\$ es \$50/150\$ o \$1/3\$ de \$12.5V\$ por encima del punto medio, es decir,

\$VT = 12.5 + 12.5/3 = 16.667V\$

Asimismo, \$R8\$ está efectivamente en paralelo con \$R10\$ , haciendo que

\$VB = 2/3 * 12.5V = 8.333V\$ .

Así que,

\$I1 = I3 = I12 = I14 = 8.333/100 = 83.33mA\$ \$I2 = I4 = I5 = I7 = I8 = I13 = I11 = I10 = I1/2 = 41.667mA\$

\$Io = I1 + I2 = 166.67mA\$

El rompecabezas es realmente encantador en su simetría. Por supuesto, esto sólo resulta así porque todos los valores de las resistencias son idénticos. Si no lo fueran, sería necesario tu método original, o algún otro método de análisis.

Answer 2

El primer paso para resolver este tipo de problemas es volver a dibujar el esquema con una disposición más lógica. Un componente principal de estos problemas es el circuito deliberadamente ofuscado. A menudo el problema es más fácil de resolver, y ciertamente más fácil de ver, cuando su esquema se dibuja de forma lógica.

Ponga la fuente de alimentación a la izquierda. Dibuja la alimentación + como una línea en la parte superior, y la alimentación - como una línea en la parte inferior del esquema. Ahora dibuja las resistencias obvias de + a - o cadenas de resistencias verticalmente. Las tensiones más altas van más arriba en la página que las tensiones más bajas. Muestre cualquier resistencia conectada directamente a la potencia + verticalmente, bajando desde la línea horizontal +. Del mismo modo, cualquier resistencia conectada directamente a - sube verticalmente desde la línea -. Intenta simplificar visualmente el resto de las resistencias tanto como sea posible.

Podemos entrar en tu problema real después de que hayas publicado el esquema desofuscado como se ha descrito anteriormente.

Answer 3

Has cometido un error con tus ecuaciones.

Usted ha demostrado

\$I_3=I_5+I_9\$

pero debería decir

\$I_3=I_5+I_7\$

Answer 4

El principio clave de este problema es simetría .

[El otro principio clave que he demostrado es no ser perezoso con un problema que parece fácil. Anteriormente me descuidé y traté de hacerlo DEMASIADO sencillo. Creo que he corregido los errores].

Diría además que el propósito de este problema es precisamente hacer que piense en claramente sobre el circuito, en lugar de intentar resolverlo matemáticamente. Me entristece saber que no aprendiste técnicas para dibujar diagramas de circuitos claros en la escuela, porque esa es quizás la habilidad práctica más útil para resolver este problema. (Cuando vi tu pregunta y decidí intentar resolverlo por mí mismo antes de leer las respuestas, lo primero que hice fue volver a dibujarlo con claridad).

Otros ya han dado alguna información útil sobre la solución, pero me gustaría intentar darte mi intuición sobre cómo enfocarlo.

Cuando vi el diagrama por primera vez, sospeché inmediatamente que probablemente era más simétrico de lo que parecía. Lo has descrito como un problema de "bachillerato"; a veces los ejercicios de la escuela implican hacer un trabajo de rutina, pero más a menudo implican trucos ingeniosos que tienes que detectar. Y aunque el dibujo lo oculta, es bastante fácil ver que cada terminal de la fuente de alimentación está conectada exactamente a dos resistencias, cada una de las cuales está conectada exactamente a dos resistencias más; y todas las resistencias del circuito tienen el mismo valor.

La simetría es un principio fundamental que hay que tener en cuenta en todo tipo de problemas en todo tipo de clases, y más allá en el mundo laboral. Puede que nunca tengas que resolver el flujo de corriente a través de una red de resistencias una vez que te hayas graduado, pero puedes asombrar a tus compañeros de trabajo toda la vida haciendo triviales los problemas complejos utilizando la simetría oculta. A menudo te permite demostrar que es posible simplificar drásticamente un problema con muy poco trabajo.

En este caso, como puedes ver en el bonito dibujo de Trevor, la red de resistencias en este problema es extremadamente simétrica. Trevor utiliza esto para demostrar que los voltajes en los nodos del medio deben ser de 12,5 V --¿puedes ver por qué? Porque, sea cual sea la resistencia total, entre esos nodos y V+/V-, es obvio que es la MISMA por encima y por debajo. Entonces es fácil ver que no puede fluir ninguna corriente en las resistencias r6 y r9, ya que como Trevor ha mostrado, los voltajes a través de ellas son 0 por simetría.

Ahora podemos seguir utilizando la simetría izquierda-derecha y arriba-abajo de todo el diagrama para ver que los voltajes también deben ser los mismos en todos los puntos de espejo de la izquierda y la derecha, y las corrientes deben ser las mismas a través de las resistencias emparejadas r1-r3-r12-r14, r2-r7-r8-r13, y r4-r5-r10-r11. Sólo esto reduce esto a un conjunto de ecuaciones bastante simple de resolver.

Pero podemos ir un poco más allá. Dados dos puntos con la misma tensión, no cambiarán los flujos de corriente para conectarlos; y dado un cable por el que no fluye corriente, no cambiará nada para desconectarlo. Así que podemos hacer el diagrama aún más simétrico de un par de maneras, la más fácil de las cuales es ésta: Como sabemos que por el centro no circula ninguna corriente de izquierda a derecha ni de derecha a izquierda (por simetría), podemos desconectar r4-r6-r10 de r5-r9-r11. Esto reduce el problema a un par de circuitos en paralelo, por lo que puedes resolver uno y luego aplicar el resultado a ambos (y dentro de cada uno, hay cadenas paralelas de resistencias idénticas en las que puedes volver a hacer lo mismo).