Cardenales y extensiones genéricas

Question

Vamos a considerar un modelo de ZFC $M$, obligando a $\mathbb{P}\in M$. Si $G$ $\mathbb{P}$- filtro genérico más de $M$ podemos construir la extensión genérica $M[G]$$M$. Dado cualquier número cardinal $\kappa$ $M[G]$ es evidente $\kappa$ es un cardenal en $M$ desde $M$ no puede ya más bijections de $M[G]$.

Mi pregunta es, supongamos, por ejemplo, $\omega_1^M$ es un número cardinal en $M[G]$,$\omega_1^M=\omega_1^{M[G]}$? Y en general, si $\kappa^M$ es un cardenal en $M[G]$$\kappa^M=\kappa^{M[G]}$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede comprobar fácilmente que $\omega_1^M\le \omega_1^{M[G]}$ mantiene como un ordinal. Por otra parte, desde la $\omega_1^M$ es el cardenal en $M[G]$, $\omega_1^M$ debe ser un incontable número ordinal. Por lo tanto $M[G]\models \omega_1^{M[G]}\le \omega_1^M$, por lo que son iguales. (Se deduce del hecho de que si $\alpha$ es incontable ordinal, a continuación,$\alpha\ge\omega_1$. Tome $\alpha=\omega_1^M$ y relativizar la fórmula de a $M[G]$.)

No sé el significado de $\kappa^M$, debido a $\kappa^M$ es sólo $\kappa$. Sin embargo, si usted tiene la intención como $\omega_2^M$, no se sostiene en general. Por ejemplo, puede contraer $\omega_1^M$ a un contable ordinal y preservar los cardenales por encima de $\omega_1^M$. En ese caso $\omega_2^M = \omega_1^{M[G]}$ $\omega_2^M$ es el cardenal en $M[G]$ pero $\omega_2^M\neq \omega_2^{M[G]}$.