No complejos de la función de onda

Question

Estoy tomando un curso de introducción en gestión de calidad. Me encontré con la siguiente pregunta:

Una partícula se describe por la función de onda $$ \psi(x) = Ae^{-ax^2} $$ donde $A$ $a$ son positivas, reales constantes. Si el valor de $a$ es el aumento de qué efecto tiene esto sobre la partícula de la incertidumbre en la posición y del objeto de la incertidumbre en el momento.

Yo pensaba que la función de onda debe ser complejas e incluyen imaginario variables, pero esta función de onda es no. También no entiendo cómo me puedo relacionar $a$ a la incertidumbre.

Answer 1

Usted está buscando en una solución de el tiempo-independiente de la ecuación de Schrödinger como su $\psi(x)$ no tiene ningún tipo de dependencia del tiempo, y la base de soluciones de la época independiente de la ecuación a menudo puede ser real. Combinaciones lineales de estas soluciones básicas pueden ser complejas.

Las soluciones para el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger siempre son combinaciones lineales de la forma $$ \Psi(x,t)=\sum_n c_n e^{-iE_nt/\manejadores} \psi_n(x) $$ y será compleja, incluso si el tiempo independiente de las funciones de $\psi_n(x)$ son reales.

Relacionar $a$ a la relación de las incertidumbres que usted necesita para calcular los $\Delta x^2$ $\Delta p^2$ usando su $\psi(x)$ (a las que tendrá para normalizar) y para saber cómo $a$ entra en el producto $\Delta x\Delta p$.

Para darle un toque estoy incluyendo la parcela de $\psi(x)^2$ $a=1$ (negro), $a=2$ (azul) y $a=1/2$ (rojo).

Answer 2

Wavefunctions son en general complejos, pero nada impide que una específica función de onda de ser real. De hecho, hay ciertos casos en los que se puede demostrar que siempre hay una verdadera función de onda que describe el sistema (se llama Schmidt descomposición, y se aplica cuando el sistema se compone de un número de subsistemas).

Answer 3

Tienes razón, la "verdadera" función de onda para una partícula es una función compleja $\Psi(\vec{x}, t)$, que sigue el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger: $$i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{x}, t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{x}, t)$$ Donde $\hat{H}$ es el operador hamiltoniano que le da la energía total de la este sistema, compuesto de la energía cinética y la energía potencial, la cual está dada por la energía potencial en función de $V(\vec{x}, t)$: $$\hat{H}\Psi(\vec{x}, t) := -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\vec{x}, t) + V(\vec{x}, t)\Psi(\vec{x}, t)$$ Si la energía potencial de la función es realmente una función del tiempo, así como la posición, esta ecuación se convierte en muy difícil de resolver. Afortunadamente, sin embargo, la energía potencial es casi siempre sólo depende de la posición y por lo tanto se convierte en una simple función de $V(\vec{x})$. En ese caso, la ecuación de Schrödinger puede ser resuelto por asumir la función de onda $\Psi(\vec{x}, t)$ a ser un simple producto de una función de $\psi(\vec{x})$ depende únicamente de la posición y una función de $f(t)$ que sólo depende del tiempo: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})f(t)$$ Entonces somos capaces de separar la posición y el tiempo dependen de las partes de la ecuación y de que encontrar ese $f(t)$ tiene que ser igual a $e^{-iEt/\hbar}$ donde $E$ es real constante (que puede ser demostrado ser la energía de la partícula). Además, $\psi(\vec{x})$ debe seguir el llamado tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger: $$E\psi(\vec{x}) = \hat{H}\psi(\vec{x})$$ donde $E$ es la misma constante. Se puede probar que el $\psi(\vec{x})$ siempre puede tomarse a ser una función real (es decir, si usted no tiene una solución a la vez independiente de la ecuación de Schrödinger, que no siempre es realmente, siempre se puede expresar como una combinación lineal de las que son. Esto no significa que cada solución tiene que ser necesariamente real.). Entonces tenemos: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})e^{-iEt/\hbar}$$ Recuerde que esto es sólo bajo el supuesto, de que $\Psi(\vec{x}, t)$ se PUEDE escribir como un producto de este tipo. Sin embargo, todas las otras soluciones, puede ser expresada como combinación lineal de estos sencillos independiente del tiempo de soluciones, como Cero ya se señaló.

Su pregunta supone un tiempo independiente de la función de onda que es igual a $$\psi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$$ (Esta es una función unidimensional, así que me voy de la flecha) por lo Tanto, el tiempo-dependiente de la función de onda que sabía que sería $$\Psi(x, t) = Ae^{-\alpha x^2}e^{-iEt/\hbar}$$ Para encontrar $E$, se puede aplicar la ecuación de Schrödinger: $$EAe^{-\alpha x^2} = \hat{H}(Ae^{-\alpha x^2})$$ (Sin embargo, usted necesita saber el potencial de la función de la energía que se usa para derivar que la función de onda)