Ejemplo específico de una determinada reclamación en un papel

Question

En un papel de Heath-Marrón, que se indica en la página 24 que para cualquier campo de número de $K$, existen ideales $\mathfrak{a_1, \dots, a_t}$ s.t. todas las fracciones de los ideales puede ser escrito como el producto de potencias de la $\mathfrak{a_j}$ y un director ideal de forma exclusiva (con algunas restricciones en los exponentes). ¿Cuál sería un ejemplo de $\mathfrak{a_1, \dots, a_t}$ en el caso de $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$?

Answer 1

La clase es el número 2, así que tome $t = 1$ y la de no-principal ideal sería hacer.

Answer 2

Sólo quiero señalar que, como Cazador insinuó y Salud-Marrón mencionados en el documento, la demanda se deduce del hecho de que el ideal de la clase de grupo es finito.

Permítanme esbozar una prueba que le permita responder a su propia pregunta. Voy a ser coherente con la anotación de la demanda (citado más adelante).

El grupo de clase de $K$ ser finito, uno puede elegir los ideales de la $\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_t$, de modo que cada (no-cero) ideal fraccional $\mathfrak A$ tiene una única descomposición $$\mathfrak A=(\alpha)\mathfrak a_1^{l_1}\dots\mathfrak a_t^{l_t},\quad \alpha \in K^\times,\quad l_j \in \mathbf Z,\quad 0\leq l_j < h_j;$$ let $$\mathfrak a_j^{h_j} = (\alpha_j),\quad 1 \leq j \leq t, \quad h(K) = \prod_{j=1}^th_j.$$

• Por la estructura teorema de finitely generado abelian grupos, el ideal de la clase de grupo es isomorfo a $$\frac{\mathbf Z}{h_i\mathbf Z} \oplus \dots \oplus \frac{\mathbf Z}{h_t\mathbf Z},$$ for suitable positive integers $h_1,\dots h_t$. So how could we choose $\mathfrak a_i$?

Deje $\mathfrak a_i$ ser el ideal cuya clase en el ideal del grupo de clase corresponde a $\mathbf Z/ h_i\mathbf Z$.

• La clase de $\mathfrak a_i^{h_i}$ es trivial en el ideal del grupo de clase. Entonces, ¿cómo podría elegimos $\alpha_i$?

De ser trivial en el ideal de la clase de grupo significa que $$\mathfrak a_i^{h_i} = (\alpha_i),$$ for some $\alpha_i \K^\times$.

• ¿Cómo podemos escribir el número de la clase, $h(K)$, en términos de $h_i$, $i = 1,\dots , t$?

$h(K) = h_1 \dots h_t$.

• Por último, ¿cómo podría usted elija $\alpha$ e las $l_i$ en la factorización de $\mathfrak A$?

Elija $l_j$ de manera tal que la clase de $\mathfrak A$ en el ideal de la clase de grupo es $$\prod_{j = 1}^t[\mathfrak a_j]^{l_j}.$$