$\mathbb R $ es incontable

Question

El uncountability de $\mathbb R $ puede ser demostrado por dos hermosa métodos..

Uno es probar la secuencia de 0 y 1 son innumerables uso de Cantor en diagonal del proceso en la que podemos elegir cualquier contables subconjunto del conjunto de todos secuencia de 0 y 1. Y, a continuación, mediante la alteración de la i-esima de los componentes de la i-esima elemento de la contables subconjunto obtenemos una secuencia de 0 y 1 que se encuentran fuera de los contables conjunto..Y teniendo en cuenta la representación binaria de todos los reales.

El otro método ,como se describe en el munkres' la Topología ,es para demostrar nada, no vacío compacto Hausdorff espacio sin punto aislado es incontable. Esto demostraría intervalos de $\mathbb R $ es incalculable y, por tanto, $\mathbb R $ es incontable.

Los dos métodos son hermosas, pero ¿hay alguna relación entre los dos?? Dos argumentos que prueben la misma cosa no tiene Linc en todo, ¿es posible?

Answer 1

El uncountability de los reales puede ser establecida en muchas formas más. Las pruebas se pueden dividir en dos clases. Uno, como el Cantor de la prueba que mencionas, se basa en algunas sintáctica forma de representar los números reales (en el Cantor del caso es esencial singularidad de expansiones decimales, así que, esencialmente, demostrando que countably largas secuencias de al menos dos símbolos es una multitud innumerable, que es una consecuencia de la capacidad de manipular estas secuencias en un cierto modo, y luego de hacer una conexión entre los reales y tales secuencias). De la otra manera, como en el que usted menciona de Munkres, no depende de ninguna forma particular de representar a los reales. Es independiente de cómo se expresan los reales. Sólo se basa en las propiedades del sistema numérico real, no de la forma en que los números están escritos abajo.

En última instancia, la notación debe reflejar de alguna manera las propiedades que hacen que la prueba de trabajo, pero estos son realmente dos estilos muy diferentes de la prueba. No debería ser sorprendente que a estas pruebas, incluso a pesar de que probar el mismo resultado, parecen ajenos. Toman formas diferentes. Este ejemplo nos muestra la hermosa interacción entre la notación y propiedades. Una buena notación de los rendimientos a veces muy simple de constancias de resultados profundos.