¿Qué es $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x + \tan 4x - \tan 6x}}{{{x^3}}}$? .

Question

¿Qué es $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x + \tan 4x - \tan 6x}}{{{x^3}}}$?

Answer 1

Sugerencia:

Uso de la fórmula de Taylor en orden $3$: $\quad\tan u=u+\dfrac{u^3}3+o(u^3)$.

Usted debe encontrar a $-48$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\tan A + \tan B - \tan(A+B)=(1-\tan A \tan B)\tan(A+B)-\tan(A+B) \\=-\tan A \tan B \tan(A+B)$$ De modo que su límite es, simplemente, $$-\lim_{x \to 0}\frac{\tan(2x)}{x}\frac{\tan(4x)}{x}\frac{\tan(6x)}{x} = -2\cdot 4 \cdot 6 = -48$$

Answer 3

SUGERENCIA:

$$\tan2x-(\tan6x-\tan4x)=\sin2x\left(\dfrac1{\cos2x}-\dfrac1{\cos4x\cos6x}\right)$$

$$=\dfrac{\sin2x(2\cos4x\cos6x-2\cos2x)}{2\cos2x\cos4x\cos6x}$$

Ahora, $$2\cos4x\cos6x-2\cos2x=\cos2x+\cos10x-2\cos2x$$ $$=\cos10x-\cos2x=-2\sin6x\sin4x$$

Ahora uso $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h=1$

Answer 4

$$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\tan 2x-2x)+(\tan 4x-4x)+(6x-\tan 6x)}{{{x}^{3}}}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{8{{x}^{3}}+64{{x}^{3}}-216{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}}=-48$$