¿Por qué el subgrupo compacto máximo de un grupo de Lie inyecta en la forma compacta?

Question

He visto que varias fuentes afirman lo siguiente (sin pruebas ni referencias), pero no veo por qué es cierto.

Sea $G$ sea un grupo de Lie, y $G_u$ sea un grupo de Lie compacto conexo tal que la complejación de sus álgebras de Lie sean isomorfas ( $\mathfrak g \otimes \Bbb C \cong \mathfrak g_u \otimes \Bbb C$ ). Entonces el subgrupo compacto máximo $K$ de $G$ incluye naturalmente en $G_u$ .

¿Qué prueba o referencia tiene la afirmación anterior?

Answer 1

En el caso semisimple, el argumento es el siguiente: la conjugación $\theta$ de un complejo semisimple $\mathfrak{g}^\mathbb{C}$ con respecto a una forma real compacta $\mathfrak{g}_u$ es una involución de Cartan, es decir, $-B(X,\theta Y)$ es una forma bilineal positiva definida en $\mathfrak{g}^\mathbb{C}$ . Si $\theta$ conmuta con la conjugación $\bar{\cdot}$ de $\mathfrak{g}^\mathbb{C}$ con respecto a $\mathfrak{g}$ entonces se restringe a una involución de $\mathfrak{g}$ que es la definición de una involución de Cartan de un álgebra de Lie real semisimple. EDITAR : En realidad no es una suposición más que $\theta$ conmuta con $\bar{\cdot}$ . $\mathfrak{g}_u$ pueden conjugarse mediante automorfismos internos para garantizarlo.

Una involución de un espacio vectorial real es diagonalizable con valores propios $\pm 1$ . La descomposición correspondiente de $\mathfrak{g}$ bajo la restricción de $\theta$ est $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$ . $\mathfrak{g}_u$ es entonces $\mathfrak{k}\oplus i\mathfrak{p}$ y así $K$ el subgrupo inmerso de $G$ correspondiente a $\mathfrak{k}$ se integra de forma natural en $G_u$ . En caso de que el centro de $G$ es finito, $K$ es compacta y, de hecho, maximal compacta.

Incluso esto requiere un buen número de páginas para demostrarlo cuidadosamente, y no sé qué se hace en el caso de un centro infinito o un grupo no semisimple. Los detalles del argumento que he esbozado pueden encontrarse en el capítulo VI de la obra de Knapp Grupos de Lie: Más allá de una introducción .