para cada $\sigma\in \rm Aut(G)$, y para cada $x\in G$, $\sigma(x)=x$ o $\sigma(x)=x^{-1}$

Question

Deje $G$ ser un grupo tal que para cada a$\sigma\in \rm Aut(G)$, y para cada $x\in G$, $\sigma(x)=x$ o $\sigma(x)=x^{-1}$.

Quiero demostrar que la $G$ es solucionable.

Answer 1

Tenga en cuenta que en un grupo, cada subgrupo es característica tan $G$ es abelian (un grupo con todos los subgrupos normales es abelian o tiene un factor directo de $Q_8$, pero cada una de esas último grupo tiene un subgrupo cíclico de orden 4 no se quedan invariantes por un automorphism de orden 3).

La torsión de los subgrupos se deja invariante, y $G/t(G)$ tiene la misma propiedad, por lo que no puede ser $p$-divisible por cualquier prime $p$.

Si $G$ es periódica, entonces $G$ debe ser cíclico de orden 1,2,3 o 6: sus Sylow $p$-subgrupos han automorfismos de orden $k$ por cada $k$ coprime a $p$, pero luego cada número debe ser congruente a $\pm1$ mod $p$, y las únicas $p$$p=2$$p=3$. De hecho, cualquier elemento de orden mayor que $2$ o $3$ estarían sujetos a un automorphism de orden distinto al $2$, lo $G$ ha exponente dividiendo $6$, y por lo tanto es una suma directa de grupos cíclicos (de órdenes 2 y 3). Si hubiera más de un factor directo de cualquier orden, entonces se tendría un no-característica de los subgrupos. Por lo tanto $G$ es un subgrupo de $C_6$.

¿Qué acerca de torsiones y grupos mixtos? Debe de torsión libre grupo de clasificación 1? Hay mixto ejemplos?

Answer 2

Pretendemos que $G$ es un grupo abelian. Uno puede ver que $Inn(G)=\{id\}$. Por lo tanto $\frac{G}{Z(G)}\cong\cong \{id\}$$G=Z(G)$. el reclamo está probado. Ya que cada grupo abelian es solucionable grupo, hemos hecho.

Answer 3

En un grupo, cada automorphism $\sigma$ es trivial o tiene orden de $2$. Por lo tanto $\operatorname{Aut}(G)$ es abelian. En particular, $\operatorname{Inn}(G) \cong G / Z(G)$ es abelian, y por lo tanto $G$ es solucionable.