Bueno, como dices, estas dos categorías son isomórficas, ¡así que va a ser difícil decir en qué se diferencian! Sólo difieren en los nombres que se dan a los mapas.
Tal vez ayudaría recapitular las definiciones. Las tomaré de las páginas 39-40 del libro de Peter Johnstone Espacios de piedra .
A marco es una red completa $A$ satisfaciendo la infinita ley distributiva $$ a \wedge \bigvee S = \bigvee \{ a \wedge s | s \in S \} $$ ( $a \in A, S \subseteq A$ ). A el homomorfismo de los marcos es una función que preserva los encuentros finitos y las uniones arbitrarias. Esto define la categoría Frm de los marcos.
Ten en cuenta (como lo hiciste) que cada homomorfismo de los marcos tiene un anexo derecho.
La categoría Loc de locales es lo opuesto a la categoría de los marcos. Los morfismos en Loc se llaman mapas continuos .
Entonces Johnstone dice: "Adoptamos la convención que si $f: A \to B$ es un mapa continuo de los lugares, escribiremos $f^*: B \to A$ para el correspondiente marco de homomorfismo, y $f_*: A \to B$ para el adjunto derecho de $f^*$ ."
Así que en la convención de Johnstone (que es la que conozco), los elementos de Loc $(A, B)$ se identifican con homomorfismos de marco $B \to A$ . En la convención de Borceux, los elementos de Loc $(A, B)$ se identifican con mapas que conservan el orden $A \to B$ que están bien unidos para enmarcar los homomorfismos.
Supongo que la otra cosa que hay que decir es que cuando se trata de conjuntos ordenados, los adjuntos son genuinamente único (no sólo único hasta el isomorfismo). Así que tomar el adjunto derecho de un marco de homomorfismo es un proceso bijectivo.
No sé qué más decir. En realidad es sólo cuestión de nombrar.
