¿Podemos cubrir todo el plano con el cuadrado de área 1/n para cada número entero positivo n?

Question

Tenemos un cuadrado con área 1/n para cada número entero positivo n.

¿Es posible colocar estos cuadrados en el plano xy de forma que cubran completamente todo el plano? Si la respuesta es afirmativa, ¿puede describir cómo puede hacerse? (también puedes hacer un dibujo). Si la respuesta es negativa, explica por qué no se puede hacer.

La suma de sus áreas corresponde a la serie armónica que es divergente. Es decir, el área "total" es "infinita". El área "total" de todo el plano también es "infinita". Sin embargo, el infinito tiene algunos niveles, ¿cómo podemos compararlos?

Edición: Podríamos considerar ambos casos :

el primer caso: se permite la superposición de casillas

el segundo caso: no se permite la superposición de casillas. Me interesa especialmente este caso.

Answer 1

No estoy muy familiarizado con el análisis real, al fin y al cabo, mi especialidad es la física. Así que perdóname por algunos pequeños errores, pero creo que la idea es correcta.

Lema. Cuando se tiene un número finito de cuadrados cuya área total es 3. Entonces se puede cubrir un cuadrado unitario con ellos paralelamente. Por paralelismo entendemos que cada arista de los cuadrados individuales es paralela al cuadrado unitario.

Prueba: Denotemos el cuadrado unitario por $M$ . En primer lugar, ordenemos los cuadrados pequeños de mayor a menor paralelamente a lo largo del lado inferior de $M$ hasta que la suma de las aristas no sea inferior a $1$ . Supongamos que el borde del último cuadrado es $h_i$ .

En consecuencia, realicemos la misma operación. Esta vez, ordenamos el resto de las casillas justo por encima de la primera línea de casillas, donde los bordes inferiores están a la derecha $h_1$ por encima de $M$ . Supongamos que el borde del último cuadrado es $h_2$ .

Después de varias operaciones indicadas anteriormente. tenemos una serie $h_i$ . y el borde más grande del $(i+1) th$ línea es menor que $h_1$ . y el borde mayor del primer cuadrado es menor que $1$ .

Lo tenemos: $$ Sum\ of\ the\ squares \leq 1\times (1+h_1) +h_1\times (1+h_2)+...\leq 1+2h_1+2h_2+... $$

Es decir: $$ 1+2h_1+2h_2+...\geq 3 $$

Lo que implica $h_1+h_2+...\geq 1$ .

Volvamos al problema:

Lo tenemos: $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\geq 1+ \frac{1}{2} + 2\times \frac{1}{4} + 4\times \frac{1}{8} + 8\times \frac{1}{16}=3\\ ... $$ así que sacamos los primeros 16 cuadrados para cubrir un cuadrado de la unidad.

En consecuencia, podemos tomar los cuadrados del área $\frac{1}{2^{6k+4}+1}...\frac{1}{2^{6k+10}}$ para cubrir un cuadrado de la unidad.

Construyamos ahora una forma de mapa $k$ a $(x,y)$ , donde $x,y$ son números enteros. Entonces dejemos que el $k th$ cuadrado de la unidad que se centrará en $(x,y)$ Por lo tanto, la cobertura es completa.

PS. No soy un usuario nativo de inglés, espero que puedas perdonar mi pobre inglés.

Answer 2

El argumento de @user1952009 se puede mejorar para dar un mosaico. Como la serie armónica es divergente, podemos llenar $\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+$ con algunos de los cuadrados cuya área es $\frac{1}{4k+1}$ . Podemos llenar $\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+$ también con algunos de los cuadrados cuya área es $\frac{1}{4k+2}$ o $\frac{1}{4k+3}$ o $\frac{1}{4k+4}$ . Así que podemos llenar $\mathbb{R}^2$ utilizando algunas de las casillas dadas, simplemente pegando las cuatro copias de $\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ cada uno de ellos alicatado con unos cuadrados de área $\frac{1}{4k+j}$ , para $j\in\{1,2,3,4\}$ . Supongamos que el mayor cuadrado no utilizado, $Q_1$ , tiene área $\frac{1}{n_1}$ .

Por el mismo argumento anterior podemos llenar $\mathbb{R}^2\setminus Q_1$ utilizando exactamente las mismas casillas que antes, luego coloque $Q_1$ en el agujero. Desplazando un poco esas cuatro esquinas podemos hacer sitio a las otras casillas no utilizadas. Así que es posible embaldosar $\mathbb{R}^2$ con cuadrados que tienen áreas $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$ Cada uno de ellos se utiliza una vez, pero el procedimiento de embaldosado es bastante poco constructivo. También porque la forma de mover las cuatro esquinas anteriores depende de que el cuadrado no utilizado tenga un área total finita o no.