Supongamos que <x id="581"/>es una función continua y que <x id="582"/>es un valor crítico de <x id="583"/>, Entonces:

Question

Si tuviera que definir la noción de un homomorphism/isomorfismo de espacios métricos, yo diría algo como esto.

Deje $A$ $B$ ser métrica espacios con las normas de $\| \cdot \|_A$ $\| \cdot \|_B$ respectivamente. Una función de $\varphi:A \to B$ es llamado un homomorphism entre el $A$ $B$ si $\|\varphi(a)\|_B = \|a\|_A$ todos los $a \in A$. Por otra parte, $\varphi$ es decir para ser un isomorfismo entre el $A$ $B$ si es bijective.

Ahora, nunca he visto una definición antes. Sólo cosas como funciones continuas se discute en el contexto de los espacios métricos. Es esta definición de alguna manera obsoleto por (o exactamente el mismo) la noción de una función continua?

Answer 1

Esta definición es demasiado restrictivo y que son también ligeramente confundido. En primer lugar, no todo espacio métrico es una normativa espacio. Segundo, en la práctica, queremos considerar muchos de los mapas entre métrica espacios que no son isometrías. La "correcta" de la definición de homomorphism entre espacios métricos, por razones que no voy a entrar en aquí (pero ver este blog para mis pensamientos sobre este tema), es un breve mapa o débil contracción, que es un mapa de $f : M \to N$ satisfactorio

$$d_N(f(a), f(b)) \le d_M(a, b)$$

para todos los $a, b \in M$. Esta definición tiene la propiedad deseable que dos métrica espacios son isomorfos iff son isométricamente isomorfos en el sentido usual de la palabra, y también es mucho menos restrictivo que el que pide una isometría.

De manera menos restrictiva noción es la de un Lipschitz continua de la función. Esto es muy útil también. Dos métrica de los espacios que son isomorfos en el sentido de que hay dos mapas de Lipschitz entre ellos que son inversos son bi-Lipschitz equivalente, que es una débil noción de isométricamente isomorfo pero es útil en algunos contextos; está relacionado con la noción de cuasi-isometría que aparece en geometría teoría de grupos.

Aún menos restrictiva idea es que de una manera uniforme continua de la función. Esta es la correcta noción de homomorphism entre el uniforme de los espacios.

El menos restrictivo de la noción, la de una función continua, es la correcta noción de homomorphism entre espacios topológicos. Estrictamente hablando, cuando se habla de funciones continuas entre espacios métricos, la categoría que usted está construyendo es realmente la categoría de metrizable espacios topológicos.

Answer 2

La pagina que esta buscando no existe.

Answer 3

Funciones continuas son los morfismos en la categoría de espacios topológicos (y así en la subcategoría de métrica espacios) como homomorphisms son los morfismos en la categoría de grupos (por ejemplo).

Tenga en cuenta que un isomorfismo (llamado homeomorphism para espacios topológicos) no es simplemente un bijective mapa continuo, sino más bien un mapa con un continuo inversa, es decir, tenemos morhisms $f$, $f^{-1}$ tal que $f\circ f^{-1}=\operatorname{id}$$f^{-1}\circ f=\operatorname{id}$). De nuevo, esta noción es "el mismo" para la métrica de los espacios. Sin embargo, un mapa en el que se preserva la métrica, $d(f(x),f(y))=d(x,y)$, es más que un homeomorphism; esta más fuerte noción de que realmente se hace uso de la métrica en sí y no solo de las nociones de convergencia etc. Se induce una isometría y no tiene contrapartida en la categoría de grupos.

Answer 4

Estás confundiendo espacios métricos con espacios normados. Un espacio métrico es un conjunto de $X$ junto con una función $d:X\times X\to R$ satisfacer

• $d(x,y)=0 \iff x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Entonces, el concepto de una estructura de preservar la función (es decir, homomorfismo) es (algo discutible) función en $f:X\to Y$, donde $X$ y $Y$ son espacios métricos con su función $d$(istance), que $$d(f(x),f(x'))\le d(x,x')$$ for all $x, x'in X $. Such mappings are caled nonexpansive or short. The concept of an isomorphism is then that of an isometry: a homomorphism $f $ which is bijective and satisfies $% $ $d(f(x),f(x'))= d(x,x').$