Por lo que sé, Cohen construyó un modelo que satisface$ ZF\neg C $. Pero si existe tal modelo, ¿cómo puede AC ser un axioma? ¿No sería una contradicción a la existencia del modelo?
La única explicación que puedo pensar es que este modelo requiere otros axiomas además de ZF, y estos axiomas contradicen AC. ¿Es verdad?
Eres el tratamiento de la palabra "axioma" como probablemente se enseña en la escuela secundaria. Que un axioma es algo que "simplemente la verdad como una suposición".
La matemática moderna ha cambiado la definición a "un supuesto de hecho en un contexto determinado". No todo axioma se llama un axioma, algunos axiomas se ha demostrado como teoremas, y a veces los lemas utilizados por los axiomas. Y por no hablar de hipótesis utilizado como axiomas a veces.
Pero, en el contexto moderno, un axioma es realmente sólo una suposición que empezar. Y en diferentes contextos de comenzar con los diferentes axiomas. A partir de los axiomas de $\sf ZF$ podemos demostrar que los axiomas de Peano mantenga en los números naturales, podemos probar que el axioma de completitud tiene para los números reales. Así que estos son todos los teoremas de $\sf ZF$.
A partir de los axiomas de $\sf ZF$ y Zorn del Lema podemos demostrar el axioma de elección, por lo que el axioma de elección es un teorema del Lema de Zorn cuando se trabaja en $\sf ZF$.
Cuando Cohen demostró que no es un modelo de $\sf ZF+\lnot AC$, que efectivamente completado la prueba de que $\sf ZF$ ni prueba ni refuta el axioma de elección. Que es muy apropiado a la medida como "axioma" va. Así que no se preocupe, esto es más de un problema lingüístico.
La existencia de un modelo de una declaración no significa que la declaración es "true" (sea lo que eso significa; ver más abajo). Por ejemplo, el disco de Poincaré es un modelo de Euclides los primeros cuatro postulados más la negación del postulado paralelo; esto no significa que el postulado paralelo es "falso".
Lo de tener un modelo de un conjunto de instrucciones que hace decir, que: el conjunto de enunciados es consistente. En particular, si hay un modelo de $T\cup\{\neg p\}$, $p$ no puede ser una consecuencia de $T$. Cohen resultado, por ejemplo, muestra que $AC$ no puede ser probado de $ZF$ solo.
En cuanto a sus comentarios sobre su valor de un axioma: saber que hay un modelo de $ZF$ donde $AC$ falla muestra que, si creemos que $AC$ es "true" (de nuevo, ver a continuación), entonces tenemos una buena razón para que lo adopten como un axioma. Por el contrario, si hubo ningún modelo de $ZF+\neg AC$, lo que significaría (por Goedel integridad del teorema) que $ZF$ demuestra $AC$, por lo que no habría ninguna necesidad de agregar $AC$ como un axioma.
OK, así que ahora otra pregunta: ¿qué es lo que pasa cuando usamos la palabra "verdad" en estos contextos? Básicamente, estamos presupone la existencia de una "correcta" del modelo. Pero la declaración de "$AC$ que es verdad en el universo de la teoría de conjuntos" no tiene nada que ver con la afirmación "hay algún modelo en el que $AC$ falla."
Para repetir: todos sabemos de la existencia de un modelo de $ZF+\neg AC$ es que el $AC$ no es una consecuencia de $ZF$.
La misma idea como otras respuestas, pero una explicación diferente (lo que hace más sentido para mí, al menos): no hay tal cosa como la verdad, y punto. Una declaración sólo puede ser verdadera o falsa en un modelo, que consta de una serie de "original" afirmaciones cuya verdad se supone, y todo es demostrable a partir de esas declaraciones. El "original" declaraciones son los axiomas.
Así que cualquier instrucción puede ser un axioma, o no es un axioma, según el modelo. El axioma de elección, por ejemplo, es un axioma de ZFC, pero se podría hacer otro modelo en el que no es un axioma.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
