Calcular $\lim_\limits{(x,y)\to(0,0)}\tan(x)\sin\left(\dfrac1{|x|+|y|}\right)$
Sabemos que
$$-1\leq \sin\left(\dfrac{1}{|x|+|y|}\right)\leq 1$$
$$-\tan(x)\leq \tan(x)\sin\left(\dfrac{1}{|x|+|y|}\right)\leq \tan(x)$$
Tomando el límite de ambos lados nos da $0$ por lo que el límite es $0$ .
¿Funciona esto? Dudo del hecho de que $\sin\left(\dfrac{1}{|x|+|y|}\right)$ no está definido, así que no estoy seguro.
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Sí, tienes razón. Sólo tiene que utilizar $\left| \sin\left(\frac1{|x|+|y|}\right)\right|\le 1$ . La función seno está definida para todo $(x,y)\ne (0,0)$ .
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¿Cuál diría usted que es el límite?
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El límite es $0$ .
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$\sin (\frac{1}{|x|+|y|})$ está definida, excepto en el origen, donde no lo está. Cuando hablamos de $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ no nos importa si la función está definida o no en el origen. Lo único que nos importa es lo que ocurre cerca de el origen.