Criterio de Cauchy en la serie$\frac{1}{n}$

Question

He visto la declaración de un millón de veces y sé que esto implica la convergencia, pero en realidad nunca he visto cómo usarlo.

Parece mucho más difícil de demostrar un límite, ya que hay un $m$ e una $n$. Alguien puede dar un ejemplo, o incluso el uso de este Criterio para demostrar que $\frac{1}{n}$ es una secuencia convergente?

Supongamos que he reducido el Criterio de Cauchy de la desigualdad en un problema para $\frac{n}{m}$, $m\gt n$, y $\frac{n}{m} > \epsilon$.

Si quiero encontrar un límite inferior para $n$, se puede elegir lo que quiera, que va a satisfacer las anteriores desigualdades?

Answer 1

Para demostrar que$\frac{1}{n}$ es cauchy, digamos que se le otorga$\epsilon>0$. Entonces, desea encontrar un$N$, de modo que si$n,m\geq N$ luego$|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|<\epsilon$, esto le dice a$$|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|=|\frac{n-m}{mn}|\leq|\frac{n}{mn}|=\frac{1}{m}$$ where above say $ n \ geq m$ so if both $ m $ and $ n$ are bigger than $ \ frac {1} {\ epsilon}$, then you would have that $ | \ frac {1} {m} - \ frac {1} {n} | <\ epsilon $, I acepta que este problema realmente no requiere que uses Cauchy, y es más fácil hacerlo directamente. Sin embargo, en el análisis vas a tener problemas si tienes que usar esto mucho.

Answer 2

Es muy fácil probar que cualquier secuencia convergente es de Cauchy, porque, si $x = \lim x_n$,$|x_n-x_m|<|x_n-x|+|x_m-x|$. Esos casos no nos dan más que el límite estándar de definición.

El más interesante de los casos son cuando no de inmediato se "sabe" cuál es el límite va a ser.

Deje $0<\alpha<1$. Si $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ (o $f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ algunos $a,b$,) tal que $|f(x)-f(y)|<\alpha |x-y|$ todos los $x,y$.

Dado cualquier $x_0$, definir $x_{n+1}=f(x_n)$. A continuación, $\{x_0,x_1,...,x_n,...\}$ es fácilmente demostrado ser de Cauchy, pero es mucho menos evidente que la que converge.

(El secundario interesante efecto de este ejemplo es el límite de $x=\lim x_n$ tiene la propiedad de que $f(x)=x$. Pero podemos demostrar que $f$ sólo puede tener un "fijo" valor por nuestra condición anterior. Si $x\neq y$$f(x)=x$$f(y)=y$,$|f(x)-f(y)|=|x-y|>\alpha |x-y|$.

Por ejemplo, si $\beta$ es real, entonces $f(x)=\beta+\alpha \arctan x$ tiene esta propiedad. No es obvio lo $\{x_0,f(x_0),f(f(x_0)),...\}$ converge a, pero sabemos que converge.

Del mismo modo, si $\{b_1,b_2,...,b_n,...\}$ es convergente aumento de la secuencia de los números reales, y $\{a_1,a_2,...,a_n,...\}$ tiene la propiedad de que para todo $n$, $|a_{n+1}-a_n|\leq b_{n+1}-b_n$ a continuación, $\{a_n\}$ es fácilmente demostrado ser de Cauchy, incluso aunque tengamos ni idea de lo que converge a.

Answer 3

Vamos a apegarnos por un segundo con la secuencia de $x_n=1/n$. Ya sabemos que esto converge a cero, puede ayudar a entender lo que está pasando. Si usted toma cualquier intervalo de alrededor de cero, es decir, de la forma $(0-\delta,0+\delta)$, entonces todos los términos de la secuencia, excepto un número finito, están dentro del intervalo (dibujar una imagen si no se ve). En particular, si $n_1$ es el mayor índice tal que $x_n$ no está en el intervalo, tenemos que para cualquier $n,m>n_1$, $$ \left|\frac1n-\frac1m\right|<2\delta. $$ Así que, con el tiempo, llegamos a este Cauchy relación.

La razón por la que tomar dos elementos en la secuencia, es porque queremos aplicar esta idea a las secuencias donde no sabemos si hay un límite. Y resulta (que es exactamente el criterio de Cauchy) que una secuencia de números reales es convergente si y sólo si es de Cauchy.

Answer 4

En la práctica, querrá eliminar ya sea$n$ o$m$ antes de vincular su diferencia por épsilon, por la misma razón que, por ejemplo, es más fácil encontrar una solución para$\sin(2x)=\dfrac1 2$ más bien que $\sin(x)\cos(x)=\dfrac 1 4$. Esto último puede no parecer relevante ya que las expresiones trigonométricas son iguales, pero preferiría tener una expresión más fácil para trabajar. Espero que ayude.