¿Cuál es el primer dígito distinto de cero en 50 factorial (50!)?

Question

¿Cuál es el primer dígito distinto de cero en 50 factorial (50!)?

Cualquier Ayuda o sugerencia será apreciada.

Answer 1

Desde $50_{\text{ten}}=200_{\text{five}}$, $\sigma_5(50)=2$. Por lo tanto, el número de factores de $5$$50!$$\frac{50-2}{5-1}=12$.

Desde $50_{\text{ten}}=110010_{\text{two}}$, $\sigma_2(50)=3$. Por lo tanto, el número de factores de $2$$50!$$\frac{50-3}{2-1}=47$.

Por lo tanto, $\frac{50!}{10^{12}}$ $35$ factores de $2$.

Poco de Fermat dice que $2^4\equiv1\pmod{5}$, lo $2\cdot2^4\equiv2\pmod{10}$, por lo $2^{35}\equiv2\cdot2^{34}\equiv2\cdot2^2\equiv8\pmod{10}$.

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Cada entero es única representable como $m\cdot2^j\cdot5^k$ donde $(m,10)=1$.

Vamos a calcular el producto $\bmod{\,10}$ de todos los números de $m$, de modo que $(m,10)=1$$m\cdot2^j\cdot5^k\le50$, agrupados por $2^j\cdot5^k$:

$\overbrace{(1\cdot3\cdot7\cdot9)^5}^{1}\overbrace{(1\cdot3\cdot7\cdot9)^2(1\cdot3)}^{2}\overbrace{(1\cdot3\cdot7\cdot9)^1(1)}^{4}\overbrace{(1\cdot3)^{\vphantom{1}}}^{8}\overbrace{(1\cdot3)^{\vphantom{1}}}^{16}\overbrace{(1)^{\vphantom{1}}}^{32}\\ \overbrace{(1\cdot3\cdot7\cdot9)^1}^{5}\overbrace{(1\cdot3)^{\vphantom{1}}}^{10}\overbrace{(1)^{\vphantom{1}}}^{20}\overbrace{(1)^{\vphantom{1}}}^{40}\\ \overbrace{(1)^{\vphantom{1}}}^{25}\overbrace{(1)^{\vphantom{1}}}^{50}\\ \equiv(1\cdot3\cdot7\cdot9)^9(1\cdot3)^4\equiv9\pmod{10}$

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Por lo tanto, $\frac{50!}{10^{12}}\equiv8\cdot9\equiv2\pmod{10}$.

Answer 2

En primer lugar, el exponente de $2$$50!$$47$, y el exponente de $5$$50!$$12$, así que estamos buscando a $\frac{50!}{10^{12}}$ mod$ 10$.

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Desde $\frac{50!}{10^{12}}$ es aún (de hecho, divisible por $2^{35}$), es suficiente para calcular lo de mod $5$:

$\frac{50!}{5^{12}}$ $\equiv$ ($4!$. $1$. $4!$. $2$. $4!$. $3$. $4!$. $4$. $4!$. $1$.($4!$. $1$. $4!$. $2$. $4!$. $3$. $4!$. $4$. $4!$). $2$

=$4!^{10}$.$4!^2$.2!

$\equiv$$(-1)^{10}$.$(-1)^2$.2

$\equiv$ $2$ mod $5$

$\frac{50}{10^{12}}$ $\equiv$ $2$.$2^{-12}$ $\equiv$ $2$ . $(2^4)^{-3}$ $\equiv$ $2$ mod $5$

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Así, $\frac{50!}{5^{12}}$ $\equiv$ $2$ (mod $10$ )

Answer 3

La obvia método es calcular los $50!$ y mira su dígitos (no hay que muchos de ellos). Aquí está:

30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Esto es bastante sencillo de hacer en un ordenador (siempre y cuando estés alerta por el desbordamiento numérico). Este método también tiene la ventaja de (a) dar a todos los otros dígitos, lo que le ayuda a verificar que la respuesta es correcta, (b) son menos propensos a incurrir en el error humano, y (c) será más escalable que humano, operado métodos.

En Wolfram|Alpha, podemos entrada 50! para obtener:

Yo personalmente prefiero usar la BRECHA. En la BRECHA, hemos de entrada Factorial(50); para obtener:

gap> Factorial(50);
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

O si nos sentimos industrioso, podríamos preparar algo de código para el cálculo de la última no-dígito cero de $n!$ todos los $n \in \{1,2,\ldots,100\}$.

for n in [1..100] do
  N:=Factorial(n);
  str:=DigitsNumber(N,10);
  i:=Size(str);
  while(str[i]='0') do
    i:=i-1;
  od;
  Print(n," ",Int([str[i]]),"\n");
od;

Podemos poner estos números en Sloane En Línea de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros, y descubrir que es la secuencia de A008904. Aquí se puede aprender todo tipo de cosas acerca de estos números, junto con el código de SAGE, Python, Mathematica y PARI (mucho más eficiente que la mina de arriba).