¿El grupo de espacio fundamental con torsión de cubierta universal contráctil es gratuito?

Question

Algunos compañeros y yo estuvimos trabajando en la siguiente pregunta - es el grupo fundamental de la Botella Klein $K$ torsión libre? Se tiene la siguiente presentación: $$\pi_1(K) = \langle a,b: aba = b \rangle.$$

En el intento de responder a esta problemática, surgió la siguiente pregunta que podría resolver este problema, y parecía como un interesante reclamo en general

Es el Grupo Fundamental de un espacio con contráctiles la universalización de la cobertura de torsión libre?

Pensamos que sería un poco y lamentablemente no encontrar un contraejemplo o una prueba. ¿Es esto cierto? Si no, lo que es una buena manera de responder a nuestra pregunta original sobre la Botella de Klein?

Answer 1

Esto es falso en general; de hecho, cada grupo $G$ es el grupo fundamental de un único (hasta débil homotopy) el espacio con contráctiles la universalización de la cobertura, es decir, la clasificación de espacio $BG$, o, equivalentemente, la Eilenberg-MacLane espacio de $K(G, 1)$. En particular, la botella de Klein es una clasificación de espacio, como es el toro.

Lo que se aplica es la siguiente.

Teorema: Si $BG$ es finito-dimensional CW complejo, $G$ es de torsiones.

Prueba. Con la anterior hipótesis, la universalización de la cobertura de $BG$ también es finito-dimensional CW complejo en el que $G$ actúa libremente, por lo tanto para cualquier subgrupo $H$$G$, el cociente $BH$ de la universalización de la cobertura por la inducida por la acción de $H$ también es finito-dimensional CW complejo, y, en particular, ha finito cohomological dimensión. Pero finito cíclico grupos han infinito cohomological dimensión, por la norma de cálculo de su grupo cohomology. $\Box$

Answer 2

No, la esfera infinita es la cobertura universal de$BZ/2$ del espacio de clasificación de$Z/2$.