Notación diferencial integral múltiple

Question

Al escribir una integral múltiple, a veces se utiliza una forma abreviada de escribir el diferencial en la integral.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ en lugar de escribir $\mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z$ a veces encontramos a $\mathrm{d}^3 \bf{x}$ donde $\bf{x} \in \mathbb{R}^3$, o incluso el $\mathrm{d}^3x$. ¿De dónde proviene?

Supongo que esto es completamente independiente de la notación de uno similar que podría indicar un tercer diferenciales de orden, por ejemplo, en la expresión de $\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$, como no tiene sentido considerar la $\mathrm{d}^3 \bf{x}$ algo así como "la $\mathrm{d}$ operador se aplica tres veces a la x", aunque se trata de una especie de "tercer orden" objeto usado en la integral múltiple (como es $\mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z$).

Answer 1

Las notaciones $dV$, $d^3\mathbf{x}$, y $d^3x$ son por lo general todos equivalentes; todos ellos denotan el estándar del elemento de volumen en $\mathbb{R}^3$. En coordenadas rectangulares esto es $dx\,dy\,dz$, pero en coordenadas cilíndricas esto es $r\,dr\,d\theta\,dz$ y esféricas en coordenadas este es $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,dz$.

Por ejemplo, si $S$ es la unidad de la esfera, a continuación, $$\iiint_S dV = \iiint_S d^3\mathbf{x}=\iiint_S d^3x$$ es una parte integral cuyo valor es el volumen de $S$. Si queremos realmente calcular el volumen, podemos elegir algunas coordenadas y el uso de las integrales iteradas: por ejemplo $$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$ en coordenadas esféricas o $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{+\sqrt{1-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta$$ en coordenadas cilíndricas o $$\int_{-1}^{+1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{+\sqrt{1-x^2}}\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{+\sqrt{1-x^2-y^2}}dx\,dy\,dx$$ en coordenadas rectangulares.

El $3$ $d^3\mathbf{x}$ $d^3x$ está ahí como un recordatorio de la dimensión; si se fueron integrando en $\mathbb{R}^4$ el volumen de elemento podría ser $d^4\mathbf{x}$ o $d^4x$. Si el $x$ está en negrita o no es sólo una cuestión de convención.