La topología del producto es discreta

Question

La topología general de Willard dice:

Para cada$\alpha\in A$, deje$X_{\alpha}$ como espacio topológico discreto. Entonces$\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ (debajo de la topología del producto) será un espacio discreto si y solo si A es finito.

Pero, si$X_{\alpha}=\{1\}$ para cada$\alpha\in A$, entonces$\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ es espacio para decodificar, ¿verdad?

Answer 1

La pregunta ha sido mal formulada. Debería decir:

Deje$A$ ser un conjunto. Entonces$A$ es finito si y solo si para todas las colecciones$(X_\alpha)_{\alpha\in A}$ de espacios topológicos discretos, el producto$\Pi_{\alpha \in A} X_\alpha$ es discreto.

Como muestra su ejemplo, mover el cuantificador 'for all$(X_\alpha)$%' al exterior nos da una oración que no es verdadera.

Para una dirección, debería ser suficiente considerar el caso que$X_\alpha=\{0,1\}$ para todos$\alpha$.

Answer 2

Tienes razón en que la formulación no es el óptimo.

Creo que él quería decir:

Para cada una de las $\alpha\in A$, vamos a $X_{\alpha}$ ser discretos topológica de un espacio con más de un punto. A continuación, $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$(producto de la topología) será un espacio discreto si y sólo si a es finito.

O

Para cada una de las $\alpha\in A$, vamos a $X_{\alpha}$ ser discretos espacio topológico. A continuación, $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$(producto de la topología) será un espacio discreto si y sólo si $\{\alpha \in A: |X_\alpha| > 1\}$ es finito.

O como una cláusula de escape: tal vez Willard define en algún lugar que un espacio discreto es, por definición, uno que tenga al menos 2 puntos, o algún truco. No lo tengo a mano ahora.

En términos simples: él quiere declarar que "todos" los infinitos productos de espacios discretos no son más discretos. Pero él no necesita agregar la cláusula de que los espacios no son los únicos para evitar la trivialidad.