22 votos

Correspondencia partícula/polo en las funciones de Green de QFT

La teoría estándar en la QFT relativista es que los polos que aparecen en el eje real en las funciones de Green del espacio de momento corresponden a partículas, y la posición del polo da la masa invariante de esa partícula. (Aquí, no tengo en cuenta las complicaciones ligadas a la fijación de galgas y a los fantasmas no físicos)

Esquemáticamente, entiendo que esto significa:

$$\text{one particle state} \Leftrightarrow \text{pole on real axis}$$

Es fácil mostrar la correspondencia que va $\text{particle} \Rightarrow \text{pole} $ . Esto se hace en muchos libros de texto, Por ejemplo El texto de Peskin y Schroeder, donde se inserta un conjunto completo de estados que diagonalizan el hamiltoniano teórico de campo en un $n$ -correlacionador de puntos, y se muestra la aparición de un polo.

Sin embargo, ¿cómo se puede argumentar en sentido contrario $\text{particle} \Leftarrow \text{pole} $ ? Es decir, la aparición de un polo en una función de Green indica un estado propio del Hamiltoniano, con el valor propio correspondiente a la energía de la partícula?

0 votos

Sólo para añadir información extra, es posible mostrar dentro de la teoría de dispersión de potencial no relativista (para potenciales bien comportados) la correspondencia partícula/polo en ambos sentidos: esencialmente, la existencia de ceros de la función Jost establece que las funciones de onda darán un estado límite normalizable, y también daría un polo en el eje real de la onda parcial correspondiente $s$ -matriz de valores propios. ¿Cuál es la generalización de esto a la teoría de campo relativista?

16voto

Giacomo Verticale Puntos 1035

Para simplificar, tomemos $\hbar=1$ y considerar un escalar hermitiano, campo renormalizado $\phi(x)$ Otros campos se tratan de forma análoga. Entonces (por simplicidad, ignorando el necesario emborronamiento ya que el campo es sólo una distribución) $$G(E)=i\int_0^\infty dt e^{itE}\langle \phi(0)\phi(t,0)\rangle =i\int_0^\infty dt e^{itE}\langle \phi(0)e^{-itH}\phi(0)\rangle\\ =\Big\langle\phi(0)\int_0^\infty dt ie^{it(E-H)}\phi(0)\Big\rangle =\langle \phi(0)(E-H)^{-1}\phi(0)\rangle =\psi^*(E-H)^{-1}\psi,$$ donde $\psi=\phi(0)|vac\rangle$ ya que el vacío absorbe los otros factores exponenciales. El teorema espectral para el operador autoadjunto $H$ garantiza una descomposición espectral $\psi=\int d\mu(E')\psi(E')$ en vectores propios o impropios $\psi(E')$ de $H$ con el valor propio $E'$ , donde $d\mu$ es la medida espectral de $H$ . La ortogonalidad de los vectores propios da $$G(E)=\psi^*(E-H)^{-1}\psi =\int d\mu(E')\psi(E')^*(E-E')^{-1}\psi(E') =\int d\mu(E')\frac{|\psi(E')|^2}{E-E'}.$$ Por lo tanto, $$(1)~~~~~~G(E)=\int\frac{d\rho(E')}{E-E'},$$ con la medida $d\rho(E')=d\mu(E')|\psi(E')|^2$ . Para los negativos $E$ la función de Greens es finita; como la medida $\rho$ es positiva, esto implica que la integral se comporta bien y no tiene otras singularidades aparte de las explícitamente visibles en el lado derecho de (1). Obsérvese que (1) es válida para todo hamiltoniano autoadjunto, sea cual sea su espectro. Por tanto, describe la estructura de singularidad más general que puede tener una función de Greens arbitraria.

En general, la medida espectral consta de una parte discreta correspondiente a los estados ligados y una parte continua correspondiente a los estados de dispersión. (También puede haber un espectro singular, que suele estar ausente y no afecta a la conclusión principal). La fórmula (1) dice, por tanto, que (en ausencia de un espectro singular) las únicas singularidades posibles de la función de Greens son los polos y los cortes de rama. Además, (1) implica que $G(E)$ tiene un polo precisamente en esos valores propios discretos $E'$ de $H$ para lo cual $\psi(E')$ es distinto de cero, y la rama corta precisamente en la parte del espectro continuo en el soporte de la medida $d\rho$ .

En particular, cualquier polo de $G(E)$ debe ser un valor propio discreto de $H$ mientras que la inversa sólo es válida bajo la condición de que $\psi=\phi(0)|vac\rangle$ tiene una proyección no nula en el correspondiente eigespacio de $H$ .

El argumento anterior se aplica a las teorías cuánticas de campo tras la eliminación de los grados de libertad del centro de masa. Así, consideramos el subespacio de estados en el que el momento espacial total desaparece. En este subespacio, los estados ligados sólo tienen una multiplicidad finita, ya que cada cáscara de masa se cruza con la línea en el espacio de momentos definida por el momento espacial que desaparece.

En cuanto a la pregunta original, la dirección ''polo $\to$ partícula'' es válida sin reservas, mientras que la dirección ''partícula $\to$ polo'' (que la OP afirma que es la parte obvia) no es universalmente correcta, sino que sólo se mantiene bajo una condición de no degeneración.

4voto

Eric Drechsel Puntos 111

Las partículas son muy raramente estados propios del Hamiltoniano.

En la física de partículas, sólo los electrones (vestidos) (¿y los protones?) podrían ser estados propios. Todas las demás partículas tienen un tiempo de vida finito, lo que implica que decaen, lo que significa que obviamente no son estados propios.

Lo que queremos llamar una partícula es algo que tiene una firma clara en una función de correlación y un tiempo de vida largo comparado con su energía. Si la teoría es perturbativa (por ejemplo, QED), la teoría libre ya da una intuición de lo que buscamos: un polo de una función de Green muy cercano al eje real. Una vez más, estos aparecen como polos.

En la teoría fuertemente acoplada (por ejemplo, la QCD de baja energía), está mucho menos claro cuáles serán las partículas si partimos de la acción desnuda (quarks+gluones). Sin embargo, sigue habiendo partículas (estables o inestables, protones y neutrones, por ejemplo). También hay resonancias (cuando el tiempo de vida es muy corto).

Por último, también hay teorías fuertemente acopladas en las que no existen (cuasi)-partículas. Aparecen con frecuencia en la materia condensada y son muy difíciles de estudiar, ya que no se dispone de una buena imagen en términos de dispersión, propagación, etc. para averiguar lo que está ocurriendo.

4 votos

Soy perfectamente consciente de este tecnicismo, y por eso me refiero, en la pregunta, sólo a los polos en el eje real que corresponden a partículas estrictamente estables. Además, estoy buscando un argumento no-perturbativo (posiblemente involucrando la teoría axiomática del campo) para los polos correspondientes a las partículas.

0 votos

No estoy seguro de que sea una pregunta bien definida. Las partículas se definen por los polos: esto coincide tanto con la teoría libre, los cálculos perturbativos así como los resultados exactos de los modelos integrables, y dan una herramienta práctica para el problema no perturbativo.

4 votos

Parece que la palabra "partículas" se interpone en el camino. Permítanme plantear mi pregunta sin usar esa palabra: "¿Cómo demuestro que cada polo en el eje real de las funciones de Green corresponde directamente a un valor propio del hamiltoniano de la teoría de campos?"

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X