Para simplificar, tomemos $\hbar=1$ y considerar un escalar hermitiano, campo renormalizado $\phi(x)$ Otros campos se tratan de forma análoga. Entonces (por simplicidad, ignorando el necesario emborronamiento ya que el campo es sólo una distribución) $$G(E)=i\int_0^\infty dt e^{itE}\langle \phi(0)\phi(t,0)\rangle =i\int_0^\infty dt e^{itE}\langle \phi(0)e^{-itH}\phi(0)\rangle\\ =\Big\langle\phi(0)\int_0^\infty dt ie^{it(E-H)}\phi(0)\Big\rangle =\langle \phi(0)(E-H)^{-1}\phi(0)\rangle =\psi^*(E-H)^{-1}\psi,$$ donde $\psi=\phi(0)|vac\rangle$ ya que el vacío absorbe los otros factores exponenciales. El teorema espectral para el operador autoadjunto $H$ garantiza una descomposición espectral $\psi=\int d\mu(E')\psi(E')$ en vectores propios o impropios $\psi(E')$ de $H$ con el valor propio $E'$ , donde $d\mu$ es la medida espectral de $H$ . La ortogonalidad de los vectores propios da $$G(E)=\psi^*(E-H)^{-1}\psi =\int d\mu(E')\psi(E')^*(E-E')^{-1}\psi(E') =\int d\mu(E')\frac{|\psi(E')|^2}{E-E'}.$$ Por lo tanto, $$(1)~~~~~~G(E)=\int\frac{d\rho(E')}{E-E'},$$ con la medida $d\rho(E')=d\mu(E')|\psi(E')|^2$ . Para los negativos $E$ la función de Greens es finita; como la medida $\rho$ es positiva, esto implica que la integral se comporta bien y no tiene otras singularidades aparte de las explícitamente visibles en el lado derecho de (1). Obsérvese que (1) es válida para todo hamiltoniano autoadjunto, sea cual sea su espectro. Por tanto, describe la estructura de singularidad más general que puede tener una función de Greens arbitraria.
En general, la medida espectral consta de una parte discreta correspondiente a los estados ligados y una parte continua correspondiente a los estados de dispersión. (También puede haber un espectro singular, que suele estar ausente y no afecta a la conclusión principal). La fórmula (1) dice, por tanto, que (en ausencia de un espectro singular) las únicas singularidades posibles de la función de Greens son los polos y los cortes de rama. Además, (1) implica que $G(E)$ tiene un polo precisamente en esos valores propios discretos $E'$ de $H$ para lo cual $\psi(E')$ es distinto de cero, y la rama corta precisamente en la parte del espectro continuo en el soporte de la medida $d\rho$ .
En particular, cualquier polo de $G(E)$ debe ser un valor propio discreto de $H$ mientras que la inversa sólo es válida bajo la condición de que $\psi=\phi(0)|vac\rangle$ tiene una proyección no nula en el correspondiente eigespacio de $H$ .
El argumento anterior se aplica a las teorías cuánticas de campo tras la eliminación de los grados de libertad del centro de masa. Así, consideramos el subespacio de estados en el que el momento espacial total desaparece. En este subespacio, los estados ligados sólo tienen una multiplicidad finita, ya que cada cáscara de masa se cruza con la línea en el espacio de momentos definida por el momento espacial que desaparece.
En cuanto a la pregunta original, la dirección ''polo $\to$ partícula'' es válida sin reservas, mientras que la dirección ''partícula $\to$ polo'' (que la OP afirma que es la parte obvia) no es universalmente correcta, sino que sólo se mantiene bajo una condición de no degeneración.
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Sólo para añadir información extra, es posible mostrar dentro de la teoría de dispersión de potencial no relativista (para potenciales bien comportados) la correspondencia partícula/polo en ambos sentidos: esencialmente, la existencia de ceros de la función Jost establece que las funciones de onda darán un estado límite normalizable, y también daría un polo en el eje real de la onda parcial correspondiente $s$ -matriz de valores propios. ¿Cuál es la generalización de esto a la teoría de campo relativista?